第一章 常用数值分析方法§1 非线性方程求根_下载.pptVIP

定理1.3强调迭代初值x0应取在根x*的邻域中。如果对任意给定的x0，迭代格式均收敛，则称此格式具有全局收敛性，但这样的格式是极其稀少的。如果对根x*的某邻域内的任一点x0，迭代格式均收敛，则此格式具有局部收敛性。 即可保证对其中任取的一点x0迭代收敛。事实上，在用迭代法求解方程（1-1）时，常常先用对分区间求得较好的初值，然后再进行迭代。 本定理给出的就是局部收敛性条件。具体解题时，虽然无法判别隔根区间是否为以x*为中心的邻域，但只要它足够小，且在邻域中满足： 定理1.3（续） 1.4 Newton法 将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，这就是Newton法的基本思想。 设已知方程f (x) = 0的近似根x0，f (x)在其零点x*邻近一阶连续可微， 且 f ?(x) ? 0，当 x0充分接近 x*时，f (x)可用Taylor公式近似表示为 ： 则方程f (x) = 0可用线性方程近似代替，即： Newton法（续） 解此线性方程得： 取此x作为原方程的新近似值x1，重复以上步骤， 于是得迭代公式： 按式（1-6）求方程f (x) = 0近似解称为Newton法。 Newton法的几何意义 如此继续下去，xn+1为曲线上点(xn, f (xn))处的切线与x轴的交点。因此Newton法是用曲线的切线与x轴的交点作为曲线与x轴交点的近似，故Newton法又称为切线法。 X x* x2 x1 x0 Y 图1-4 Newton迭代法有 着明显的几何意 义, 如图1-4所示: 过点(x0,f (x0))作曲线y = f (x)的切线，切线方程为： y = f (x0) + f ?(x) (x?x0) 该切线与x轴的交点的横坐标即为新的近似值x1，而x2则是曲线上点(x1, f (x1))处的切线与x轴的交点。 Newton法举例 例7 解： 因为f ?(x) =3x2+10，故Newton迭代公式为： x1 = 1.5970149，x2 = 1.5945637， x3 = 1.5945621 = x4迭代三次所得近似解就准确到8位有效数字。 代入初值x0得： 可见Newton法收敛很快。 一般地，有如下屏定理1.4： Newton法收敛定理 定理1.4 设函数f (x)在其零点x*邻近二阶连续可微，且f ? (x*) ? 0，则存在? 0，使得对任意x0?[x*??, x* + ?]，Newton法所产生的序列{xn}至少二阶收敛于x*。 定理1.4表明，当初值x0充分接近x*时，Newton法的收敛速度较快，但当初值不够好时，可能会不收敛或收敛于别的根，这可从Newton法的几何意义看到： 注：Newton’s Method 收敛性依赖于x0 的选取。 x* x0 ? x0 ? x0 Newton法的优缺点 优点：Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，它是求解非线性方程的有效方法之一。 缺点：每次迭代均需要计算函数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难时，Newton法无法进行。 1.5 弦截法 不 足 之 处：需要计算导数值，较难； ——这就是弦截法迭代公式 Newton法优点：收敛快（平方阶），固定格式； 修 正：以差商代替导数（微商） 弦截法迭代公式的几何解释 与x轴相交， 即y = 0， 解出x得： 即以割线代替曲线f (x)，以割线与x轴的交点去近似曲线与x轴的交点，又称为割线法。 xn-1 xn 割线 xn+1 Pn-1 Pn 弦截法的几点说明 1、需要两个点x0，x1才能开始进行迭代： （1）若只给定x0，则须利用其他方法，如对分法，求 x1，然后再利用弦截法，求x2 ，x3， …； （2）若给定一有根区间，可直接用两端点作 x0，x1。 ?[xn]收敛，收敛阶为1.618，超线性收敛。 ? ? ? ? ? ? 3. 上述弦截法又称为变端点弦截法（双点）， 该法称为： 定端点弦截法 （单点）， 几何意义如右图 ： x1 x2 x3 x0 x y 图1-5 弦截法的几点说明 (续） 其实还可固定一端点x0 写为： 弦截法举例 例9 用定端点，变端点截线法求方程：