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第三章;主要内容;学习重点 ;3.1 稳定性分析 ;1. 线性系统稳定性的概念;3.1 稳定性分析 ;2.线性控制系统的稳定性;线性系统稳定的充要条件：;;2. 劳斯判据 ;(二) 劳斯判据 ; D(s)=ansn＋an-1sn-1＋…＋a1s＋a0= 0;劳斯判据： 系统特征方程的全部根都在S左半平面的充分必要条件是劳斯表的第1列系数全部是正数。 方程在右半平面根的个数等于劳斯表中第1列各元改变符号的次数。;例3-1 系统的特征方程如下，试用劳斯判据判断系统的稳定性。;练习：;建立劳斯表过程中的几种情况 （1）劳斯表中第1列出现零 ; 如果上面一行的首列和下面一行的首列符号相同，这表明有一对纯虚根存在。;（2）劳斯表的某一行中，所有元都等于零 这表明方程有一些大小相等且对称于原点的根。在这种情况下，可利用全 0 行的上一行各元构造一个辅助多项式（称为辅助方程），式中均为偶次。以辅助方程的导函数的系数代替劳斯表中的这个全 0 行，然后继续计算下去。这些大小相等而关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程得出。 ;解：列劳斯表;它的导函数为 用导函数的系数4和12代替行相应的元继续算下去，得劳斯表为 ; 这些虚根可由辅助方程式求出。本例的辅助方程式是 由之求得特征方程式的大小相等符号相反的虚根为 ;练习：;3. 参数对稳定性的影响 ;列写劳斯阵列表：;4. 相对稳定性和稳定裕量 应用代数判据只能给出系统是稳定还是不稳定，即只解决了绝对稳定性的问题。在处理实际问题时，只判断系统是否稳定是不够的。因为，对于实际的系统，所得到参数值往往是近似的，并且有的参数随着条件的变化而变化，这样就给得到的结论带来了误差。为了考虑这些因素，往往希望知道系统距离稳定边界有多少余量，这就是相对稳定性或稳定裕量的问题。 ;方法： 利用代数稳定判据， 以 代入系统特征方程式，写出z的多项式，然后用代数判据判定z的多项式的根是否都在新的虚轴的左侧。 ;例3-6 系统特征方程式为 劳斯表为 可以看出，第一列中各项符号没有改变，所以没有根在S平面的右侧，系统是稳定的。;检查上述系统是否有 裕量。 将 代入原特征方程式，得 ;5. 赫尔维茨判据 系统的特征方程式的标准形式： ansn＋an-1sn-1＋…＋a1s＋a0= 0 构造赫尔维茨行列式D ;赫尔维茨稳定判据：特征方程式的全部根都在左半复平面的充分必要条件是上述行列式D的各阶主子式均大于0，即 ;分析方法 ;1.对控制性能的要求 ;2.自动控制系统的典型输入信号 ;（2）斜坡函数 ;（3）抛物线函数 ;（4）脉冲函数 ;（5）正弦函数 ; 本章主要以单位阶跃函数作为系统的输入量来分析系统的暂态响应。 ;3、系统的瞬态性能指标 系统的瞬态性能通常以系统在初始条件为零的情况下，对单位阶跃输入信号的响应特性来衡量。;（1）最大超调量 响应曲线偏离稳态值得最大值，常用百分比表示，即 反映了系统的平稳性。最大超调量越小，则说明系统过渡过程越平稳。 （2）上升时间tr 指系统的输出量第一次到达输出稳态值所需要时间。 ;（3）延滞时间td 响应曲线达到稳态值50%所需时间。 （4） 峰值时间tp 响应曲线达到第一个峰值所需的时间。 （5）调整时间ts 响应曲线从零开始到进入稳态值的95%-105%（或98%-102%）误差带时所需要的时间。;3.2.3 一阶系统的阶跃响应 ;2.一阶系统的单位阶跃响应 ;系统的时间常数T 越小，调节时间ts越小， ;例3-7 一阶系统的结构如下图所示。试求该系统单位阶跃响应的调节时间ts ；如果要求ts(5%)? 0.1(秒)，试问系统的反馈系数应取何值？ ;例3-7解：;（2）求满足ts (5%) ?0.1（s）的反馈系数值。 ;1.典型二阶系统的暂态特性 ;系统的特征方程为 ;过阻尼（? 1） 系统的特征根为 ;输出量的拉氏变换： ;输出量的时间函数： ;（2）欠阻尼（ ） 系统的特征根为 ;输出量的拉氏变换：;式中： 阻尼振荡角频率，或振荡角频率 阻尼角 ;结论：在欠阻尼的情况下，二阶系统的暂态响应的暂态分量为一按指数衰减的简谐振动时间函数；振荡程度与? 有关：? 越小，振荡越剧烈。 ;（3）临界阻尼（? =1） 系统的特征根为;输出量的时间函数：;（4）无阻尼