相似矩阵及二次型讲义（精品）.pptVIP

所谓一般二次型的化简问题，就是寻找一个可逆的线性变换： 定理9 任给可逆矩阵 C ，令 B=C TAC，若 A 为对称矩阵，则 B 亦为对称矩阵，且 R(B)=R(A)。 证： A为对称矩阵，即有 A T=A，于是， B T =(C TAC) T=C TAT(C T) T=C TAC=B . 故 B 为对称矩阵. 再证 R(B)=R(A). 因 B=C TAC, 故 R(B) ≤R(AC) ≤R(A). 又因 A=(C T) -1BC -1,故 R(A) ≤R(BC -1) ≤R(B) 于是 R(B)=R(A). 这定理说明：经可逆变换 x=C y ,把 f 化成 yTC TACy ，C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。要使二次型 f 经过可逆变换 x=C y化成标准形，即使 f = x TAx 也就是要使 C TAC 成为对角阵，即， C TAC=∧，因此，我们主要的问题就是：对于对称矩阵 A ，寻求可逆矩阵 C ，使 C TAC=∧. 由上节定理 8 知 , 任给实对称矩阵A，总有正交矩阵 P,使PTAP =∧. 把此结论用于二次型，即有： 定理10. 任意 二次型 三 、用正交变换化二次型为标准型 经过上面的讨论，总结用正交变换化二次型为标准型的一般步骤： 　　4．把求出的n个两两正交的单位向量，拼成正交矩阵P,作正交变换x=Py; 5.用x=Py，把f 化成标准型 例2. 求一个正交变换x=Py，把二次型 解 1）二次型的矩阵为 作业 163页 12题. ～ 当k = 0 时,上式变为 ～ 对应特征向量可取为: ～ ～ 对应特征向量可取为: 因此,当 k = 0 时,令 从上面的讨论和例题可知, A没有重特征值,则A必可对角化,而当 A有重特征值时,就不一定有n 个线性无关的特征向量 ,从而不一定能对角化 .上次课讲的二重特征值不能对应两个线性无关的特征向量 ,所以该方阵不能对角化 .而在本节例1中A也有二重特征值,但却能找到 3个线性无关特征向量.所以例1中A能对角化.例3的讨论也说明不是所有方阵都能对角化. 　　一个方阵具体什么条件才能对角化？这是一个比较 复杂的问题,我们对此不作一般性的讨论,　而仅讨论当 A 为实对称矩阵的情形. §4 对称矩阵的相似矩阵 定理5 对称矩阵的特征值为实数. 证 设复数 λ 为对称矩阵 A 的特征值 , 复向量 x 为 λ 对应的特征向量,即Ax = λ x , x≠0 。 两式相减,得 是实系数方程组,由 知必有实的基础解　 系,所以对应的特征向量可以取实向量. 定理6 证 定理7 设 A为 n阶对称矩阵,λ是A的特征方程的r重根,则矩阵A－λ E的秩R(A－λE)=n－r,从而对应特征值λ恰有r个线性无关的特征向量. 定理8 设A为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵P，使 P-1AP=Λ 其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵. 证 设 A的互不相等的特征值为 它们的重数依次为 根据定理5及定理7知,对应特征值 把它们施密特标准正交化, 知这样的特征向量共可得n个. 按定理6知对应于不同特征值的特征向量正交,故这 n个单位特征向量两两正交 。于是以它们为列向量构成正交矩阵P,并有 例1 设 解 ①由|A－λE| = 0 , 求 A 的全部特征值. 例1 设 解 ①由|A－λE| = 0 , 求 A 的全部特征值. k1≠0任意. 基础解系中两个向量恰好正交,单位化得两个正交的单位的特征向量. (4)可以验知确有 　　在此例中对应于λ=4,若求得方程(A－ λ E) x = 0 的基础解系 则需把它施密特标准正交化: 于是得正交矩阵 可以验知仍有 由此可见,把一个方阵化成对角矩阵所用的正交变换矩阵P不是唯一的. 例2 设矩阵 解 由 记对角矩阵 = [ p(kE+Λ) pT ] [ p(kE+Λ) pT ] = [ p(kE+Λ)2 pT ] 由此可得 显然，B与A相似,且