数学建模--微分方程第二讲.ppt

微分方程模型 第二讲 （4）二阶常系数齐次线性微分方程: 推广: 结论: 例、 捕食系统的Volterra方程 例4、 较一般的双种群生态系统 三、用MATLAB求解微分方程 解得： P存在时，P一般是稳定平衡点，此时平凡平衡点常为不稳定的鞍点。 证明： 记 （无圈定理）若方程组（3.33）的系数满足 （i） A=a1b2－a2b1≠0 （ii）B= a1b0（a２－b2）－a０b2（a1－b１）≠０ 则(3.33)不存在周期解 定理 3 作函数 ，并记 f(x1,x2)=x1(a0+a1x1+a2x2)， g(x1,x2)=x2(b0+b1x1+b2x2)，容易验证： 假设结论不真，则在x1~x2平面第一象限存在（3.33）的一个圈Γ，它围成的平面区域记为R。 于是由K（x1,x2）0且连续以及AB≠0可知，函数 在第一象限中不变号且不为零，故二重积分： （3.35） 但另一方面，由格林公式 注意到 ， ，又有: （3.36） 其中T为周期。 （3.35）与（3.36）矛盾，说明圈Γ不可能存在。 对于Voltera方程，由a1=b2=0，得B=0；所以无圈定理不适用于Volterra方程。 对于一般的生态系统，如果通过求解的微分方程来讨论常常会遇到困难。 怎样来讨论一般的生态系统 如果困难的话可以研究种群的变化率，搞清轨线的走向来了解各种群数量的最终趋势。 简化模型，设竞争系统的方程为： 其中αβ不为0，否则为Logistic模型 。 方便讨论取α=β=1，但所用方法可适用一般情况。 （竞争排斥原理）若K1K2，则对任一初状态（x1(0),x2(0)），当t→+∞时，总有（x1(t), x2(t)）→（K1,0），即物种2将绝灭，而物种1则趋于环境允许承担的最大总量。 定理4 作直线l1: x1+x2=K1及l2: x1+x2=K2， K1 K2，见图3-26。 dx1/dt0 dx2/dt0 图3-26 III II I k1 k2 dx1/dt0 dx2/dt0 dx1/dt0 dx2/dt0 有以下几个引理: 引理1 若初始点位于区域I中，则解 （x1(t)、x2(t)）从某一时刻起 必开此区域而进入区域II 引理2 若初始点（x1(0)、x2(0)）位于 区域II中，则（x1(t)，x2(t)）始 终位于II中，且： 引理3 若初始点位于区域III中,且对于 任意t ，（x1(t)，x2(t)）仍位于 III中，则当t→+∞时，（x1(t)， x2(t)）必以（K1,0）为极限点。 由引理1和引理2，初始点位于像限I和II的解必趋于平衡点（K1,0）。由引理3，初始点位于III且（x1(t)，x2(t)）始终位于III中的解最终必趋于平衡点（K1,0），而在某时刻进入区域II的解由引理最终也必趋于（K1,0）。易见只有上述三种可能，而在三种可能情况下（x1(t)，x2(t)）均以（K1,0）为极限，定理得证。 定理4的证明： 在研究实际课题时，数值解方法也许会用得更多。当解析解无法求得时，计算机作为强大的辅助工具发挥了它应起的作用。浙大学生在研究1999年美国大学生数学建模竞赛题A（小行星撞击地球）时就遇到了一个棘手的问题：如何描述南极地区的生态系统，如何定量化地研究小行星撞击地球对南级生态环境的影响？在上网查阅了南极附近的海洋生态状况后，他们将南极附近的生物划分成三个部分：海藻、鳞虾和其他海洋生物。鳞虾吃海藻，其他海洋动物吃鳞虾，运用基本建模技巧建立了一个三房室系统模型。小行星的撞击会影响大气层的能见度，从而影响到海藻的生长（光合作用），进而影响到生物链中的其他生物。他们无法得到模型中的参数值（事实上，小行星撞击南极的事件并未发生过），就取了一系列不同的参数值，对不同参数值下模型的数值解进行了分析对比，研究了解对各参数变化的灵敏度，取得了十分有意义的结果并获得了当年国际竞赛的一等奖。 二、差分方程的基本理论 差分方程反映的是关于离散变量的变化规律，针对要 解决的实际问题，引入系统或过程中的离散变量，根 据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离