应用数学基础 第三章-赋范线性空间和有界线性算子.ppt

* §3.6?1 Lebesgue 测度 为什么研究测度 设 是有界函数。 作和 ，这里 对 [a,b] 作任意划分： 任取 Mi=Sup{f(?i) |?i?[xi-1,xi]} mi=inf{f(?i) |?i?[xi-1,xi]} ωi= Mi ? mi （振幅） 则 f(x) Riemann 可积 ? * §3.6?1 Lebesgue 测度 为什么研究测度 作和 对 [c, d] 作任意划分： 任取 设 是有界函数, ?(f )?[c, d ]。 * §3.6?2 Lebesgue 测度 外测度 外测度 设 E?R。E 的L– 外测度定义为所有包含 E 的开集的长度 之 下确界： 1. 外测度可能为有限数，也可能为无限数。 2. 空集和至多可数集外测度为0，任一区间的外测 度等于其长度。 开集的结构 任何开集可以表示为 至多可列个开区间之并集。 开集的长度 任一开集的长度定义为 其构成区间的长度之和。 3. 若 E ? F，则 m*(E ) ? m*(F )。 4. m*(?nEn ) ? ?n m*(En )，当诸En 互不相交时，等式成立。 5. 若 En ? En＋1 ?n，E＝ ?nEn ，则 m*(E )= limn?? m*(En )。 6. 若 En ? En＋1 ?n，E＝ ?nEn ，则当m*(E1) ?时 m*(E )= limn?? m*(En )。 * §3.6?1 Lebesgue 测度 测度 定义 设E?R, 称 E 为 L–可测集, 若 ?A?E 有 m*(A) ? m*(A?E) + m*(A ?Ec) 。 此时，称 m*(E)为 E 的 L–测度 。 注1. 由于 A＝ (A?E) ? (A ?Ec)，故自然成立 m*(A) ? m*(A?E) + m*(A ?Ec)。 因此， E 为 Lebesque 可测集 ? m*(A) ＝ m*(A?E) + m*(A ?Ec)。 注2. 若定义 所谓 L–内测度 为 含于E 的闭集的长度的 上确界，则 E 为 Lebesque 可测集 ? m*(E) = m*(E) 。 * 2. 设 E、F 和 En(n?N) 均为 R 的可测子集，则 E?F、E?F、 E\ F 以及?nEn 、 ?nEn 均可测。 3. 任何R中的开集、闭集均是可测集。 若 m*(A) +?，则??0, 有开区间列 { In} 使得 A??In, 且 m*(A)+? ? |In|. 定理 1. 任何区间均是可测集。 §3.6?3 Lebesgue 测度 可测集、可测函数 设 E 是区间，EC = E1?E2. m*(A?E) ? m*[?(In ?E) ] ? ? m*(In ?E) m*(A?E1) ? ? m*(In ?E1) m*(A?E2) ? ? m*(In ?E2) m*(A?E) +m*(A?EC) ? m*(A?E) + m*(A?E1)+ m*(A?E2) ? ? m*(In ?E) + ? m*(In ?E1) + ? m*(In ?E2) ? ? m*(In ) m*(A) + ? * §3.6?3 Lebesgue 测度 可测集、可测函数 定义 设 E?R 为可测集，f(x) 是定义在 E 上函数， 如果对 ???R，E(f a) ={x?E?f(x)?} 是可测集， 则称 f 为 E 上可测函数。 1. f 为 E 上可测函数 ? 对 ???R, E(f??) 可测 ? 对 ???R, E(f?) 可测 ? 对 ???R, E(f??) 可测 2. 连续函数为可测函数 3. D(x) 为可测函数 * §3.6?4 Lebesgue 积分 作和 对