应力状态和强度理论22.ppt

单向拉压时，当正应力低于比例极限时,正应力与正应变成正比, 即拉压胡克定律 7.4 应力和应变的关系 7.4.1 单向拉压时应力和应变的关系 纯剪切时，当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与切应变成正比，即剪切胡克定律 7.4 应力和应变的关系 7.4.2 纯剪切时应力和应变的关系 对于各向同性材料，沿各方向的弹性常数E, G, μ均分别相同。在线弹性范围、小变形条件下, 正应力只引起线应变, 而切应力只引起同一平面内的切应变。 可用叠加原理, 分别计算出sx, sy, sz单独存在时x, y, z方向的线应变ex, ey, ez, 然后代数相加。 7.4 应力和应变的关系 7.4.3 广义胡克定律 sx单独存在时 sy单独存在时 sz单独存在时 x 方向的线应变 在sx, sy, sz同时存在时, x方向的线应变ex为 7.4.3 广义虎克定律 x y z s x s z s y 依此类推， y, z方向的线应变e为 切应变gxy, gyz, gzx与切应力txy, tyz, tzx间的关系分别为 一般空间应力状态下，在线弹性范围内、小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律为 7.4.3 广义胡克定律 若已知空间应力状态下单元体的三个主应力, 则沿主应力方向只有线应变，而无切应变。 与主应力s1, s2, s3相应的线应变分别记为e1, e2, e3, 称为主应变。 主应变 每单位体积的体积变化, 称为体积应变, 用q 表示。 ?1 ?2 ?3 a1 a2 a3 如图, 设单元体的三对平面为主平面, 三个边长为a1, a2, a3。 变形后的边长分别为a1(1+e??，a2(1+e2?，a3(1+e3?。 变形后单元体的体积为 7.4.4 体积应变 由体积应变的定义, 并在小变形条件下略去线应变乘积项的高阶微量，可得 在任意形式的应力状态下，各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直平面上的正应力之和成正比，而与切应力无关。 令 K为体积弹性模量，σm为平均主应力。 则 物体受外力作用而产生弹性变形时, 在物体内部将积蓄有应变能, 每单位体积内所积蓄的应变能称为应变能密度。 在单轴应力状态下，物体内所积蓄的应变能密度为 应变能密度的计算公式 *7.4.5 复杂应力状态下的应变能密度 在同一比例加载时，对应于每一主应力， 其应变能密度等于该主应力在与之相应的主应变上所作的功，而其它两个主应力在该主应变上并不做功。因此，同时考虑三个主应力在与其相应的主应变上所作的功，单元体的应变能密度应为 经整理得 在一般情况下, 单元体将同时发生体积改变和形状改变。可将主单元体分解为图示两种单元体的叠加。其中sm称为平均应力, 即 ?m ?m ?m (b) ?1-?m ?2-?m ?3-?m (c) ?1 ?2 ?3 (a) 在平均应力作用下(图b)，单元体的形状不变，仅发生体积改变，故其应变能密度就等于图a所示单元体的体积改变能密度， 即 ?m ?m ?m (b) 图c所示单元体的三个主应力之和为零，故其体积不变，仅发生形状改变。于是，其应变能密度就等于图a所示单元体的形状改变能密度(畸变能密度)。 ?1-?m ?2-?m ?3-?m (c) 应变能密度vε等于体积改变能密度vV与畸变能密度vs之和。 例7-7 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：?x=240?10-6，?y=-160?10-6，弹性模量E=210 GPa，泊松比为? =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。 根据广义胡克定律，有: 解：在自由面上，有一个主应力等于0。 例7-8 边长a =0.1 m的铜质立方体置于刚性很大钢块中的凹坑内(图a)，钢块与凹坑之间无间隙。试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向外加载荷F =300 kN时，铜块内的主应力、最大切应力。已知铜的弹性模量E =100 GPa，泊松比?＝0.34。铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略不计。 (a) 解：1、 铜块水平面上的压应力为 2、铜块在sy作用下不能横向膨胀，即ex=0，ez＝0，可见铜块的x截面和z截面上必有sx和sz存在(图b) 。 (b) 按照广义胡克定律及ex＝0和ez＝0的条件有方程： 从以上二个方程可见，当它们都得到满足时显然sx＝sz。于是解得 (b) 由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以sx，sy，sz都是主应力，且 3、铜块内的最大切应力为 (b) 例7-9 直径d＝20 mm的实心圆轴，两端加力偶矩Me＝126 N·m。在轴的表面上某一点A处用应变仪测出与轴线成-45o方向的应变?＝5.0?10-4 , 试求此圆轴材料的剪切弹性模量G。 解: 包围点A取一单元体 A -45