常微分chapter 5.2线性微分方程组的一般理论.ppt

定理2* (5.2.2)的一个解矩阵 是基解矩阵 的充要条件是 且如果对某一个 则 注：行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是 线性相关的。 例如，矩阵 的行列式在任何区间 上恒等于零， 但它的列向量却是 线性无关的。 例1 验证 是方程组 其中 的基解矩阵。 证明 令 则 所以 是解。 是解矩阵。 因此， 又 所以 是基解矩阵。 或 且 为基解矩阵。 由定理1*和定理 2*可得 上的基解矩阵， 是非奇异 常数矩阵， 推论 1 如果 是(5.2.2)在区间 也是(5.2.2)在区间 上的基解矩阵。 证明: 是(5.2.2)的解矩阵. 又 是(5.2.2)的基解矩阵. 则 两个基解矩阵， 常数矩阵C， 推论 2 若 是(5.2.2)在 使得在 上，有 则存在一非奇异 证明: 是基解矩阵， 存在。 令 则 为常数矩阵。 又 非奇异， 且 上的 设 为 为 所以存在 常向量 使得 其中 为常数矩阵. 的列向量。 的基解矩阵， 从而由 为基解矩阵， 可得 又证 5.2.2 非齐线性微分方程组 讨论 上的已知 连续矩阵， 是区间 的解的结构问题， 是区间 上的已知 维连续列向量。 这里 （1） 与（1）对应的齐线性微分方程组 （2） 1 非齐线性微分方程组解的性质和结构 性质1 是(1)的解， 齐线性方程组(2)的解,则 是与(1)对应的 是(1)的解。 若 性质2 是(1)的解， 是(2)的解。 则 若 * * §5.2 线性微分方程组的一般理论 Shurong Sun University of Jinan Semester 1, 2014-2015 (5.2.1) 如果 则(5.2.1)称为非齐线性的。 如果 则 (5.2.2) 讨论 齐线性的 5.2.1 齐线性方程组 1. 解的性质 定理2（叠加原理） 和 是方程组(5.2.2) 的解， 也是(5.2.2)的解， 是任意常数。 若 则 其中 注：定理2说明, 齐线性方程组的所有解的集合 构成一个线性空间。 Q：此空间的维数是多少呢？ 2. 通解的结构 （1）向量函数线性相关与线性无关 （i）定义 如果存在不全为零的常数 使得 ， 则称向量函数 在[a, b] 上 线性相关， 否则就称线性无关。 例如，对于任意整数 k, 在任何区间上都是线性无关的。 和 在任何区间上都是线性相关的。 （ii）Wronski 行列式及向量函数线性相（无）关的 判断 设 为定义在[a, b] 上的向量函数， 称 为这些向量函数的Wronski 行列式。 定理3 如果向量函数 在区间 上线性相关, ， 。 则 证明 ，使得 ， 将其看作以 为未知量的齐次线性 的Wronski行列式 W(t), 代数方程组， 它的系数行列式就是 由假设，存在一组不全为零的常数 为其非零解， 定理4 在区间 上线性无关, 如果方程 组(5.2.2)的解 证明 考虑关于 的齐次线性代数方程组 (反证法) 设 则 其系数行列式 所以存在非零解 令 是方程组(5.2.2)的解且满足 则 由解的唯一性,即知 显然 也是方程组(5.2.2)的解且满足 即 矛盾。 不全为零， 线性相关， 注： 齐线性方程组的n个解的Wronski行列式, 或者恒为零， 或者处处不等于零。 定理5 齐线性方程组(5.2.2)一定存在n个线性无关的解。 （2）齐线性方程组通解的结构 由存在唯一性定理，方程组(5.2.2)满足上述初始条件的解 一定存在。 线性无关。 证： 分别考虑初始条件 又 定理6（通解结构定理) 是方程组(5.2.2)的n个线性无关的解, 则(5.2.2)的 任一解可表为 若 设 为(5.2.2）的任一解，且满足 考虑 证明 令 其系数行列式 所以存在 则 为(5.2.2)的解且满足 由解的唯一性得 即 推论1 齐线性方程组(5.2.2)的所有解构成一个n维 线性空间。 方程组(5.2.2)的任意n个线性无关解称为它的一个 基本解组。 方程组(5.2.2)的线性无关解的最大个数等于n. 推论2 如果已知(5.2.2)的k个线性无关的解，则(5.2.2)可以降低为含n-k 个未知函数的线性微分方程组. 特别地，如果已知(5.2.2)的n个线性无关的解，则(5.2.2)的通解即可得到. 3 高阶线性微分方程 注意到n阶线性微分方程与线性微分方程组的 等价性的论述，本节的所有定理都可以平行地 推论到 n 阶线性微分方程上去。 （1） （1’） （叠加原理） 设 为(1)的解， 则 为(1’)的解， 由定理5.2， 为(1’)的解， 所以 为(1)的解。 可以证明：一组 n-