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第十二章 数项级数 §1 级数的收敛性 1.证明下列级数的收敛性,并求其和数: (1) (2) (3) (4) (5) 2.证明:若级数发散,则也发散. 3.设级数与都发散,试问一定发散吗?又若与都是非负数,则能得出什么结论? 4.证明:若数列收敛于,则级数 5.证明:若数列有则 (1)级数发散; (2)当时,级数 6.应用第4,5题的结果求下列级数的和: (1) (2) (3) 7.应用柯西准则判别下列级数的敛散性: (1) (2) (3) (4) §2 正项级数 1.应用比较原则判别下列级数的敛散性: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 2.用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (其中且). 3.设和为正项级数,且存在正数对一切有 证明:若级数收敛,则级数也收敛;若发散,则也发散. 4.设正数级数收敛,证明亦收敛;试问反之是否成立? 5.设且有界,证明收敛. 6.设级数收敛,证明也收敛. 7.设正项级数收敛,证明级数也收敛. 8.利用级数收敛的必要条件,证明下列等式: (1) (2) 9.用积分判别法讨论下列级数的敛散性: (1) (2) §3 一般项级数 1.下列级数哪些是绝对收敛,条件收敛或发散的: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2.应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性: (1) (2) (3) 3.设且证明级数 是收敛的. 总练习题 1.证明:若正项级数收敛,且数列单调,则 2.若级数与都收敛,且成立不等式 证明级数也收敛.若,都发散,试问一定发散吗? 3.若且级数绝对收敛,证明级数也收敛.若上述条件中只知道收敛,能推得收敛吗? 4.(1)设为正项级数,且能否判定收敛? (2)对于级数有,能否判定不绝对收敛,但可能条件收敛? (3)设为收敛的正项级数,能否存在一个正数,使得 5.证明:若级数收敛, 绝对收敛,则级数也收敛. 6.设证明级数 是收敛的. 7.证明:若级数与收敛,则级数和也收敛,且 第十三章 函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 1.讨论下列函数在所示区间上是否一致收敛,并说明理由: (1) (2) (3) (4) (5) 2.证明:设若对每一个正整数有则在上一致收敛于. 3.判别下列函数项级数在所示区间上的一致连续性: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 4.设函数项级数在上一致连续于,函数在上有界.证明级数在上一致连续于 5.若区间上,对任何正整数, 证明当在上一致收敛时,级数在上也一致收敛. 6.设是上单调函数,证明:若和都绝对收敛,则在上绝对且一致收敛. 7.在上定义函数列 , 证明级数在上一致收敛,但它不存在优级数. §2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 1.讨论下列各函数列在所定义的区间上: (a) 与的一致收敛性; (b) 是否有定理13.9,13.10,13.11的条件与结论. (1) (2) (3) 2.证明:若函数列在是满足定理13.11的条件,则在上一致收敛. 3.证明定理13.12和13.14. 4.设计算积分 5.设计算积分 6.设计算 7.证明:函数设在上连续,且有连续的导函数. 8.证明:定义在上的函数项级数满足定理13.13条件,且 总练习题 1.试问为何值时,下列函数列一致收敛: (1) (2) 2.证明(1)若且在上有界,则至多除有限项外在上是一致有界; (2) 且对每个正整数在上有界,则在上一致有界. 3.设为上连续函数,证明: (1) 在上收敛; (2) 在上一致收敛的充要条件是 4.若把定理13.10中一致收敛函数数列的每一项在上连续改为在上可积,试证在上的极限函数在上也可积. 5.设级数收敛,证明 6.设可微函数列在上收敛,在上一致有界,证明:在上一致收敛. 第十四章 幂级数 §1 幂级数 1.求下列幂级数的收敛半径与收敛区域: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)