导数的几何意义(上课用修正版)精品.pptVIP

M △x △y x o y y=f(x) A B 复习： 1、函数的平均变化率 2、函数在某一点处的导数的定义 （导数的实质） 3、函数的导数、瞬时变化率、 平均变化率的关系 β y=f(x) P Q M Δx Δy O x y β P y=f(x) Q M Δx Δy O x y ▲如图：PQ叫做曲线的割线 那么，它们的 横坐标相差（ ） 纵坐标相差（ ） 导数的几何意义: 斜率 ▲当Q点沿曲线靠近P时，割线PQ怎么变化？△x呢？ △y呢？ P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T 导数的几何意义: 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 即: 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数. P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T 【例1】 求曲线y=x2在点P(1,1)处的切线的方程。 k= 解： △y=f(1+ △x)-f(1) = (1+ △x)2 -1 =2 △x+（ △x）2 ∴曲线在点P(1,1)处的切线的斜率为 因此，切线方程为 y-1=2(x-1) 即： y=2x-1 （4）根据点斜式写出切线方程 求 斜 率 【总结】求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的方法： (1)求△y=f(x0+ △x)-f(x0) k= 练习:如图已知曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. y x -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 3 4 O P 即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0. 在不致发生混淆时，导函数也简称导数． 函数导函数 由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即: 【例2】 k= (5)根据点斜式写出切线方程 【总结】求过曲线y=f(x)外点P(x1,y1)的切线的步骤： k= (1) 设切点(x0，f (x0)) (3) 用(x0，f (x0))， P(x1,y1)表示斜率 (4) 根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k （3）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。 （2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 。 （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。 1.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数” 之间的区别与联系。 小结 随堂检测： 1.已知曲线y=2x2上一点A(1,2)，求 （1）点A处的切线的斜率； （2）点A处的切线方程。 2.求曲线y=x2+1在点P(-2,5)处的切 线的方程。 3、求曲线y=x-1过点(2,0)的切线方程 3、求曲线y=x-1过点(2,0)的切线方程 4、曲线 在点M处的切 线的斜率为2，求点M的坐标。 5、在曲线 上求一点，使过该点的切线与直线 平行。 思考与探究 曲线在某一点处的切线只能与曲线有唯一公共点吗？下图中，直线是否是曲线在点P处的切线？ x o y P x o y y=f(x) 设曲线C是函数y=f(x)的图象， 在曲线C上取一点A(x0,y0) 及邻近一 点B(x0+△x,y0+△y) ,过A、B两点作割 线， 当点B沿着曲线无限接近于点A 点A处的切线。 即△x→0时, 如果割线AB有一个极 限位置AD, 那么直线AD叫做曲线在 曲线在某一点处的切线的定义 △x △y A B