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中国科大2010年数学分析考研试题的解答 一 证明 利用不等式，得 ， 再由是一致连续的，即可得到在上是一致连续的。 二 证明 令， 由题设条件，可导，， ， 由此，再由条件，即得 ， 故在处可微。 三 证明 由题设条件，显然 由此推得 ， 收敛，收敛， 令，在中令，取极限，则得，，故。 四 解 ，， 由，得 ， ， ， 。 五 证明 因，收敛，对每一，关于单调有界，且是一致有界，由阿贝尔判别法，于是关于一致收敛， 或由，即得关于一致收敛， 又， ， 关于是一致收敛的，（任意） 所以在上有定义，连续可微， 且， ， 故有，。 六 解 设， ， 利用高斯公式，得 。 七 解 由， ， ， ， 再由为奇函数，可知，（为常数）。 八 证明 （1）由正项级数收敛，可知， 存在，当时， ，，（）， 所以收敛； （2）设，由收敛，知收敛， 存在正整数，当时， ， 从而，，（充分大） ，（充分大） 故收敛。 九、 证明 在上有二阶导数，知在上连续， 由，得 ， 从而， ， 由此得， ， ， ，容易知道，成立 ， 故有。 十 、证明 由，存在，当时， ， 由此，可得，， 单调递减，有下界，于是（存在）， 再由，存在正整数，使当时，， 当时，， ， 显然收敛，从而收敛，必有，（否则发散）； 由 ， 得存在，存在正整数，使得当时，有， 利用判别法，得级数收敛。 1