7-3三重积分的概念及计算讲解材料.pptVIP

上页 下页 铃 结束 返回 首页 定义 设f(x? y? z)是空间有界闭区域?上有定义? 将?任意分割成n个互不重叠的小区域 在 上任取一点 作积分和 其中　　表示小区域 的体积? 若对区域　的任意一种分割法 以及中间点　　　　的任意取法，积分和的极限 总存在，则称此极限为　　　　在区域　上的三重积分， 记作 或 7-3 三重积分 当极限 存在时,称 在区域 ? 上可积. 三重积分 中的各部分的名称? ??? ————积分号? ? ————积分区域? f(x? y? z)——被积函数? f(x? y? z)dv—被积表达式? dv ————体积元素? x? y? z———积分变量? 1? 在直角坐标下的计算 （１）积分区域是一个拄面，而其底与顶可以是 曲面 　　　及　　　在　上连续　 其中 在　上连续 则 平面x?2y?z?1所围成的闭区域? 区域?可表示为? 解 例 1 计算三重积分 dxdydz x òòò W , 其中 W 为三个坐标面及 先二重积分后定积分的方法 一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分? 设积分区域为 ??{(x? y? z)|(x? y)?Dz? a?z?b}? 其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域?所得到的一个平面闭区域? 则 空间区域?可表为? 解 例 2 计算三重积分 dxdydz z òòò W 2 , 其中 W 是由椭球面 空间点的柱面坐标 2? 在柱坐标下的计算公式 设M(x? y? z)为空间内一点? 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P(r? ? )? 则这样的三个数r、? 、z就叫做点M的柱面坐标? 这里规定?、? 、z的变化范围为? 0?r??? 0???2? ? ??z??? 直角坐标与柱面坐标的关系 x?rcos?? y?rsin?? z?z? 柱面坐标系中的体积元素 dV?rdrd?dz? 提示? 简单来说? dxdy dV=dxdydz ?rdrd?dz? ?rdrd?? 提示? ?的上边界曲面为z=4? 下边界曲面为z?x2?y2? 用极坐标可表示为z??2? 所以 ?2?z?4? 提示? ?在xOy面上的投影区域为x2?y2?4, 用极坐标可表示为: 0???2, 0?q?2?. 由曲面z?x2?y2与平面z?4所围成的闭区域? 闭区域?可表示为? 解 ?2?z?4? 0???2? 0???2?? 例 3 利用柱面坐标计算三重积分 òòò W zdxdydz , 其中 W 是 提示? 例4 求半径为a的球面与半顶角为?的内接锥面所围成的立体的体积? 解 该立体所占区域?可表示为? 0?r?2acos?? 于是所求立体的体积为 此球面的方程为x2?y2?(z?a)2?a2? 即x2?y2?z2?2az? 在球面坐标下此球面的方程为r2?2arcos?? 即r?2acos?? 0????? 0???2?? * * 上页 下页 铃 结束 返回 首页