1矩阵的初等变换讲解材料.ppt

§1 矩阵的初等变换 主要内容： 一、矩阵的初等行变换 二、矩阵的初等变换 三、矩阵之间等价 四、行阶梯形矩阵 五、行最简形矩阵 定义:下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 对调两行 (对调i , j 两行,记作ri?rj ); (2)以数k≠0乘某一行中的所有元素 (第i行乘k,记作ri×k) ; (3)把某一行中的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去(第j行的k倍加到第i行上,记作ri+krj) . 定义:把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变换的定义(所用记号是把“r”换成“c” ) . §1 矩阵的初等变换 §1 矩阵的初等变换 例 §1 矩阵的初等变换 例 §1 矩阵的初等变换 例 §1 矩阵的初等变换 定义:矩阵的初等行变换与初等列变换,统称初等变换. 说明:三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换. (1) 变换ri?rj 的逆变换就是其本身ri?rj ; (2)变换ri×k的逆变换为ri÷k ; (3)变换ri+krj的逆变换为ri- krj . §1 矩阵的初等变换 定义:如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵A与B行等价,记作A~B ; 定义:如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,就称矩阵A与B列等价,记作A~B ; 定义:如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作A~B . §1 矩阵的初等变换 例 A与A1等价 §1 矩阵的初等变换 例 A与A3等价 §1 矩阵的初等变换 矩阵之间的等价关系具有下列性质: (1)反身性 A~A; (2)对称性 若 A~B ,则B~A; (3)传递性 若 A~B , B~C ,则A~C . §1 矩阵的初等变换 例 §1 矩阵的初等变换 定义:矩阵A3都称为行阶梯形矩阵,其特点是: 可画出一条阶梯线,线的下方全为0 ; 每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数, 阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元. §1 矩阵的初等变换 标准形 行阶梯形矩阵A4还称为行最简形矩阵,其特点是: 非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素为0 . §1 矩阵的初等变换 定义:矩阵A5称为矩阵A的标准形,其特点是:矩阵A5 的左上角是一个单位矩阵,其余元素全为0.