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自主招生训练试题（一） 一、已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、． （Ⅰ）设，试求函数的表达式； (Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值． 二、对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”。现已知,请解答下列问题: （Ⅰ）求函数的“拐点”A的坐标; (Ⅱ）求证的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）； （Ⅲ）若另一个三次函数G（x）的“拐点”为B（0，1），且一次项系数为0，当，时，试比较与的大小。 三、有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币：① 骰子出现1点时，不翻动硬币；② 出现2，3，4，56点时，如果硬币正面朝上，则不翻动硬币；否则，翻动硬币，使正面朝上. 按以上规则，在骰子掷了n次后，硬币仍然正面朝上的概率记为Pn. （1）求证：，点（Pn ，Pn+1）恒在过定点（，），斜率为的直线上； （2）求数列{Pn}的通项公式Pn； （3）用记号表示数列{}从第n项到第m项之和，那么对于任意给定的正整数k，求数列，，…，，… 的前n项和Tn. 四、已知甲、乙、丙三人独自射击命中目标的概率分别是、、。 （1）、若三人同时对同一目标进行射击，求目标被击中的概率； （2）、若由甲、乙、丙三人轮流对目标进行射击（每人只有一发子弹），目标被击中则停止射击。请问三人的射击顺序如何编排才最节省子弹?试用数学方法说明你的结论。 五、如图，已知长方体ABCD—A1B1C1D1，AB=2，AA1=1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为 30°，英才苑AE⊥BD于E，F为A1B1的中点. （1）求异面直线AE与BF所成的角； （2）求平面BDF与平面AA1B1B所成的二面角（锐角）的大小； （3）求点A到平面BDF的距离. 六、在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，. 过点M作MM1⊥y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，. 记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）. （1）求曲线C的方程； （2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|； （3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明 七、某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4、0.5、0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. (Ⅰ)求ξ的分布列及数学期望； (Ⅱ)记“f(x)=2ξ·x+4在[-3，-1]上存在x0,使f(x0)=0”为事件A，求事件A的概率 八、已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （1）设为点P的横坐标，证明； （2）求点T的轨迹C的方程； （3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使 △F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不 存在，请说明理由．和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．（Ⅰ）设，试求函数的表达式； (Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值． 一、解：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、， ， 切线的方程为：， 又切线过点， 有， 即， ………………………………………………（1） …… 2分 同理，由切线也过点，得．…………（2） 由（1）、（2），可得是方程的两根， ………………（ * ） ……………………… 4分 ， 把（ * ）式代入,得, 因此，函数的表达式为． ……………………5分 （Ⅱ）当点、与共线时，，＝， 即＝，化简，得， ，． ………………（3） …………… 7分 把（*）式代入（3），解得． 存在，使得点、与三点共线，且 ． ……………………9分 （Ⅲ）解法：易知在区间上为增函数， ， 则． 依题意，不等式对一切的正整数恒成立， …………11分 ， 即对一切的正整数恒成立，． ， ， ．由于为正整数，． …13分 又当时，存在，，对所有的满足条件． 因此，的最大值为． ………………………