高考数学之数列篇.docVIP

数列篇： 知识精要 1、数列 [数列的通项公式] [数列的前n项和] 2、等差数列 [等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. [等差数列的判定方法] 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列. 2．等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列. [等差数列的通项公式] 如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为. [说明]该公式整理后是关于n的一次函数. [等差数列的前n项和] 1． 2. [说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数. [等差中项] 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项.即：或 [说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项. [等差数列的性质] 1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有 对于等差数列，若，则. 也就是：，如图所示： 3．若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列.如下图所示： 3、等比数列 [等比数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）. [等比中项] 如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项. 也就是，如果是的等比中项，那么，即. [等比数列的判定方法] 定义法：对于数列，若，则数列是等比数列. 2．等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列. [等比数列的通项公式] 如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为. [等比数列的前n项和] 当时， [等比数列的性质] 1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有. 对于等比数列，若，则 也就是：.如图所示： 4．若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列.如下图所示： 4、数列前n项和 （1）重要公式：；； （2）等差数列中， （3）等比数列中， （4）裂项求和：；; 若是等差数列；； 5常用技巧 递推公式与构造新数列： ；；;； 倒序相加（4）错位相减（6）数学归纳法 （7）累加与累乘；. （8）放缩与函数： ； 习题精选: 1.已知函数的图象经过点和，记 （1）求数列的通项公式； （2）设，若，求的最小值； （3）求使不等式对一切均成立的最大实数.解：（1）由题意得，解得， （2）由（1）得， ① ② ①-②得 . ， 设，则由 得随的增大而减小时， 又恒成立， （3）由题意得恒成立 记，则 是随的增大而增大 的最小值为，，即. 2.已知函数(x≥4)的反函数为，数列满足：a1=1，，（N*），数列，，，…，是首项为1，公比为的等比数列． （Ⅰ）求证：数列为等差数列； （Ⅱ）若，求数列的前n项和． 解：（Ⅰ）∵(x≥4)， ∴(x≥0)， ∴， 即（N*）． ∴数列是以为首项，公差为2的等差数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）得：，即 （N*）． b1=1，当n≥2时，， ∴ 因而，N*． ， ∴ 令 ① 则 ② ①-②，得 ∴．又． ∴． 3.已知二次函数的图象过点且 （1）求的解析式； （2）若数列满足，且，求数列的通项公式； （3）对于（2）中的数列，求证：①；②． （1）由，∴ ……… 2分 解之得，即； ……… 4分 （2）由，∴ 由累加得 ∴； ……… 7分 （3）①（） 当时，…．10分 ②， ，所以不等式成立 已知递增数列满足：， ，且、、成等比数列 （I）求数列的通项公式； （II）若数列满足：， ①用数学归纳法证明：； ②记，证明： 解：（I），∴数列为等差数列，设公差为 、、成等比数列，∴ （II）①即证 用数学归纳法证明如下：（1）当时，，原不等式成立； （2）假设时原不等式成立，即 那么当时， ∴当时原不等式也成立 由（1）（2）可知 ②证明：由，而， ∴ ∴，，，，， ∴ ，∴ ∴ ∴∴ . 5.设数列的前项和为，已知（Ⅰ）求证数列为等差数列，并写出和的表达式； （Ⅱ）求；Ⅲ）是否存在自然数，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）当时，，2分 得.3分 ∴是以为首项，4为公差的等差数列分∴5分