2005 好题.docVIP

（2005?哈尔滨）已知：直线y=2x+6与x轴和y轴分别交于A、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、C，点B是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求抛物线的解析式及B的坐标；（2）设点P是直线AC上一点，且SABP：SBPC=1：3，求点P的坐标；（3）直线y= x+a与（1）中所求的抛物线交于M、N两点，问：是否存在a的值，使得MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 分析：（1）先根据直线的解析式求出A、C的坐标，然后将A、C的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式，进而可根据抛物线的解析式求出B点的坐标．（2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是AP：PC=1：3，即3AP=PC，可先求出AC的长，然后分情况讨论：当P在线段AC上时，AP+PC=AC，3AP=PC，据此可求出AP的长，然后根据CAB的三角函数值或通过构建相似三角形可求出P点的坐标．当P在CA的延长线上时，CP-AP=AC，3AP=PC，据此可求出AP的长，后面同．（3）可联立两函数的解析式，求出M、N的坐标，过M、N作x轴的垂线设垂足为M′、N′，由于MON=90°，因此可得出MM′O与N′NO相似，可得出M、N两点的横、纵坐标的绝对值对应成比例，据此可求出a的值．（也可用坐标系的两点间的距离公式，根据勾股定理来求解．） 解答：解：（1）当x=0时，y=6，C（0，6），当y=0时，x=-3，A（-3，0），抛物线y=-x2+bx+c经过点A、C， -9-3b+c=0 c=6 ，解得： b=-1 c=6 ．抛物线的解析式为y=-x2-x+6，当y=0时，整理得x2+x-6=0，解得：x1=2，x2=-3，点B（2，0）．（2）过点B作BDAC，D为垂足，S△ABP：SBPC=1：3， 1 2 AP?BD 1 2 PC?BD = 1 3 ，AP：PC=1：3由勾股定理，得AC= AO2+CO2 =3 5 当点P为线段AC上一点时，过点P作PHx轴，点H为垂足， PH OC = AP AC = 1 4 ∴PH= 3 2 ， 3 2 =2x+6，x=- 9 4 ，点P（- 9 4 ， 3 2 ）当点P在CA延长线时，作PGx轴，点G为垂足AP：PC=1：3AP：AC=1：2， PG OC = AP AC = 1 2 ，PG=3，-3=2x+6x=- 9 2 ，点P（- 9 2 ，-3）．（3）存在a的值，使得MON=90°，设直线y= 1 2 x+a与抛物线y=-x2-x+6的交点为M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左侧）则 x1=xM y1=yN x2=xN y2=yN 为方程组 y= 1 2 x+a y=-x2-x+6 的解分别过点M、N作MM’x轴，NN′x轴，点M、N为垂足．M′（xM，0），N′（xN，0），OM′=-xMON′=xN∵∠MON=90°，MOM′+∠NON′=90°，M′MO+∠MOM′=90°，M’MO=∠NON’∴Rt△MM′O∽Rt△ON′N， MM′ ON′ = OM′ NN′ ，MM′?NN′=ON′?OM′，-xM?xN=yM?y，由方程组消去y整理，得：x2+ 3 2 x+a-6=0．xM、xN是方程x2+ 3 2 x+a-6=0的两个根，由根与系数关系得，xM+xN=- 3 2 ，xM?xN=a-6又yM?yN=（ 1 2 xM+a）（ 1 2 xN+a）= 1 4 xM?xN+ a 2 （xM+xN）+a2= 1 4 （a-6）- 3 4 a+a2-（a-6）= 1 4 （a-6）- 3 4 a+a2，整理，得2a2+a-15=0解得a1=-3，a2= 5 2 存在a值，使得MON=90°，其值为a=-3或a= 5 2 ．