初中数学复习总动员第20讲矩形.docx

2017年暑期初中数学复习总动员第20讲矩形【知识巩固】1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2.性质：边??????矩形的对边平行且相等角??????矩形的四个角都是直角对角线????矩形的对角线互相平分且相等3.判定：角?????有一个角是直角的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形对角线???对角线相等是平行四边形是矩形矩形是轴对称图形，有两条对称轴。4.相关性质平行线段：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等两条平行线之间的距离相等?连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。【典例解析】典例一、矩形定义一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（　　）A.（2，2）B.（3，2）C.（3，3）D.（2，3）答案：B知识点：坐标与图形性质；矩形的性质解析：解答：解：如图可知第四个顶点为：即：（3，2）．故选B．分析：本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为2.本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案．【变式训练】矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，则对角线AC与边BC所成的角是多少度？答案：30°知识点：矩形的性质；等腰三角形的性质解析：解答：解：根据矩形的对角线相等且互相平分得到：OB＝OC．则∠ACB＝∠OBC．∵∠AOB＝∠ACB+∠OBC∴∠ACB＝30°．故选B．分析：根据矩形的对角线的性质，结合等腰三角形的性质求解．本题主要考查了矩形的对角线相等且平分．即对角线把矩形分成了四个等腰三角形．典例二、矩形判定（2017贵州安顺）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．【解答】（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC．∵DB=AC，∴DB∥EC． 又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE． （2）添加AB=BC． （ 5分）理由：∵DBAE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE．∴?ADBE是矩形．【变式训练】（2017湖南邵阳）如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，根据等角对等边可得OB=OC，然后求出AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明；（2）根据正方形的判定方法添加即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵∠OBC=∠OCB，∴OB=OC，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：AB=AD（或AC⊥BD答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB=AD，∴四边形ABCD是正方形．或：∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．【点评】本题考查了正方形的判断，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键．典例三、矩形性质（2017广西百色）矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）EG=FH．【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）可证明EG和FH所在的△DEG、△BFH全等即可．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=AD，CF=BC，∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）∵四边形AFCE是平行四边形，∴CE∥AF，∴∠DGE=∠AHD=∠BHF，∵AB∥CD，∴∠EDG=∠FBH，在△DEG和△BFH中，∴△DEG≌△BFH（AAS），∴EG=FH．【变式训练】（2017广西河池）如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是　　．【考点】LB：矩形的性质．【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=