2012届高考数学一轮复习§10.对数与对数函数.docVIP

§10.对数与对数函数 【学习目标】 1.理解和掌握对数和对数函数的概念. 2.理解对数的运算性质以及对数函数的图像和性质. .综合运用对数函数的图像与性质解决有关实际问题. 1.（2010·全国I）设a=2，b=In2，c=，则（ ） A.abcB.bca C. cab D. cba 【解析】 B. C. D. 【解析】3.若为函数f（x）=lg（x+1）的反函数，则f －1（x）的值域为________. 【解析】（－1，+∞）. （3－x）］的定义域是________. 【解析】［2，］. 【考点解读】 一、对数 1.定义 如果，那么b叫做以a为底N的对数，记作. 即 . 2.常用的两种对数 （1）常用对数：以10为底的对数，记作. （2）自然对数：以无理数为底的对数，记作. 2.对数的基本性质 （1）零和负数没在对数，即中，. （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； 2.对数的运算性质 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 3.对数换底公式 （1）； （2）； （3）. 二、对数函数 1.定义 形如 的函数称为对数函数. 2.图象及性质 a的范围 图 象 性质 定义域 值域 R 特征点 单调性 递减 递增 函数值的变化规律 ①时， ②时， ③时， ①时， ②时， ③时， 渐近线 指数函数都以y轴为渐近线. a的大小与图象的变化 a越小，图象越靠近x 轴. a越大，图象越靠近x轴. 三、对数函数的应用 1.底数相同，真数不同，用对数函数的单调性比较； 2.底数不同，真数不同，借助中间标准量（如0、1）比较； 3.底数不同，真数相同，借助图象与坐标轴的距离比较： （1），（2）， （3），（4） 则作直线，得， 即图象在x轴上方的部分自左向右底数逐渐增大. 四、对数函数与指数函数的关系 对数函数与指数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称.【经典例解】 题型一：对数运算 【例1】计算. 【解析】. 【点拨】本题考查对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧， 只要利用对数的运算性质将各部分变形到最简形式，同时注意分子、分母的联系即可求解. 【变式】计算 【解析】.题型二：对数函数的图象及性质 【例2】已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数图象上的点. （1）求实数k的值及函数的解析式； （2）将y=的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2（x+－3）－g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围. 【解析】（1）∵A（－2k，2）是函数y=图象上的点，∴B（2，－2k）是y=f（x）上的点. ∴－2k=32+k.∴k=－3.∴f（x）=3x－3. ∴y==log3（x+3）（x＞－3）. （2）将y=的图象按向量a=（3，0）平移，得函数y=g（x）=log3x（x＞0）. 要使2（x+－3）－g（x）≥1恒成立，即使2log3（x+）－log3x≥1恒成立， 所以有x++2≥3在x＞0时恒成立，只要（x++2）min≥3. 又x+≥2（当且仅当x=，即x=时等号成立），∴（x++2）min=4，即4≥3.∴m≥. 【点拨】利用点（a，b）在原函数的图象上时，点（b，a）在反函数的图象上即可求出k的值；利用求反函数的步骤即可求出的解析式；利用平移变换求出g(x)的解析式，再将恒成立问题转化为最值问题求解即可. 【变式】若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）. （1）求f（log2x）的最小值及对应的x值； （2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）？ 【解析】（1）当log2x=即x=时，f（log2x）有最小值；（2）0＜x＜1.题型三：对数函数的综合应用 【例3】（2010·辽宁）已知函数. （I）讨论函数的单调性； （II）设.如果对任意，，求的取值范围. 【解析】 【点拨】求函数的单调性，考虑用导数法；利用f(x)的单调性去掉绝对值符号，将不等式变形为左右两边相同的形式，构造辅助函数，分离参数，将恒成立问题转化为最值问题求解. 【变式】已知函数. （Ⅰ）若，求的取值范围； （Ⅱ）证明：. 【解析】（I）因为，所以. 令，则. 因为当时，；当时，，所以是的最大值点. 即，所以的取值范围是. （II）由（I）知，即. 当时，； 当时，. 所以. 【感悟规律】 1.对数式与指数式的等价转化是解决有关指数、对数问题的有效方法. 2.解答与对数函数有关的函数的单调性问题时，首先要注意定义域优先，然后看底数是否大于1，当底数未明确给出时，应先对底数大于1和在