课程设计——解线性方程Jacobi迭代法.docVIP

解线性方程Jacobi迭代法 解线性方程有两种方法：直接法和间接法.迭代法属于后者.考虑方程组 Ax=b， 其中，为非奇异矩阵.下面讨论如何建立Jacobi迭代法. 将A分裂为 A=M-N， 其中，M为可选择的非奇异矩阵，且使Mx=b容易求解，一般选择为A的某种近似，称为M的分裂矩阵. 于是，求解Ax=b转化为求解Mx=Nx+b,即求解 设并将A写为三部分 =D-L-U. 于是 即 所以解Ax=b的基本迭代公式为 由上式可知，Jacobi迭代法计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法且计算过程原始矩阵A始终不变. 定理 (迭代法基本定理) 设有方程组 x=Bx+f, 及一阶定常迭代法 对任意选取初始向量x,迭代法收敛的充要条件是矩阵B的谱半径 证明： #includestdio.h #includemath.h #define N 3 double fanshu(double a[N],double b[N]) { int i; double c=0; for(i=0;iN;i++) c+=fabs(a[i]-b[i]); return c; } void f(double x1[N],double a[N][N],double b[N]) { int i,j,k=0;//k是迭代的次数 double sum,x2[N];//x2[N]记录下一次的x1[N] for(i=0;iN;i++) x2[i]=x1[i]; while(1) { k++; for(i=0;iN;i++) { sum=0; for(j=0;jN;j++) if(j!=i) sum+=a[i][j]*x2[j]; x1[i]=(b[i]-sum)/a[i][i]; } printf(k=%d ,k); for(i=0;iN;i++) printf(%lf ,x2[i]); for(i=0;iN;i++) printf(%lf ,x1[i]); printf(\n); if(fanshu(x1,x2)=1e-5)break; for(i=0;iN;i++) x2[i]=x1[i]; } } main() { int i,j; double x1[N]={0},a[N][N],b[N]; for(i=0;iN;i++) scanf(%lf,b[i]); for(i=0;iN;i++) for(j=0;jN;j++) scanf(%lf,a[i][j]); f(x1,a,b); printf(最后的结果是x1=); for(i=0;iN;i++) printf(%lf ,x1[i]); }