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概率论与统计1-4
1.4 几何概率 定义 蒲丰 * * 概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义就不适用了. 把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法 ——几何方法. 定义1.4.1 当随机试验的样本空间S是某个区域,并且任意一点M落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率. 几何概型的概率性质 (1)对任一事件A ,有 约会问题 例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( tT ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率. 解 设 分别表示二人到达的时刻, 那么 两人会面的充要条件为 故所求的概率为 若以 x, y 表示平面 上点的坐标 , 则有 蒲丰投针试验 例2 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( a )的针,试求 针与任一平行直线相交的概率. 解 蒲丰资料 由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题. 蒲丰投针试验的应用及意义 Born: 7 Sept 1707 in Montbard, C?te dOr, France Died: 16 April 1788 in Paris, France Georges Louis Leclerc Comte de Buffon 历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1) 3.1795 859 2520 0.5419 1925 Reina 3.1415929 1808 3408 0.83 1901 Lazzerini 3.1595 489 1030 0.75 1884 Fox 3.137 382 600 1.0 1860 De Morgan 3.1554 1218 3204 0.6 1855 Smith 3.1596 2532 5000 0.8 1850 Wolf 相交次数 投掷次数 针长 时间 试验者
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