3.多元函数三(2012微分学的应用).pptVIP

* 7.5 多元函数微分学的几何应用 7.5.1 空间曲线的切线与法平面 7.5.2 曲面的切平面与法线 7.5.1 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的方程为 1. 空间曲线方程由参数方程给出时 切向量： 则曲线在M处的切线方程为： 法平面方程： 例1 求曲线 在 处的切线与法平面方程. 解: 切线方程 法平面方程 空间曲线方程为 2. 空间曲线方程由一般式给出时 则切向量： 所求切线方程为 法平面方程为 7.5.2 曲面的切平面与法线 1. 曲面方程由一般式给出时 设∑的方程：F(x，y，z)=0，M0是∑上一点， 则法向量： 切平面方程 法线方程为 解 令 切平面方程 法线方程 2. 曲面方程由显式给出时 空间曲面方程为 令 法向量 曲面在M处的切平面方程为： 曲面在M处的法线方程为： 解 切平面方程为 法线方程为 3. 曲面法向量的方向角、方向余弦 假定取法向量的方向是向上的，则 式中fx=fx(x0，y0)， fy=fy(x0，y0) 例5 求曲面 在点(2，1，5)处的向 上的法向量的方向余弦。 解： |(2，1，5)={－4，－4，1} 7.6 方向导数与梯度 7.6.1 方向导数 7.6.2 梯度 1. 方向导数的定义 7.6.1 方向导数 x O y ⊿y ⊿x P P′ ρ l 对于 对于 2. 方向导数的计算方法 注1：公式也可写成： 注2：三元函数的求方向导数公式为： 解 解 令 故 方向余弦为 故 7.6.2 梯度 1. 梯度的定义 对于三元函数可类似地定义: 设 f (x，y)在D内一阶偏导连续，则此函数在点 的梯度为向量： 2. 梯度与方向导数的关系 函数z=f (x，y)在某点P (x，y)处沿梯度方向的方向导数最大（函数增长最快），而它的最大值为梯度的模。 例3 求函数f(x，y，z)=x2+y2+z2在点M0(1，－1，2)处方向导数的最大值，及M0在取得方向导数最大值的方向与坐标轴夹角的余弦。 解： grad f={2x，2y，2z}， grad f (1，－1，2)={2，－2，4} 7.7 多元函数的极值及其求法 7.7.1 多元函数的极值 7.7.2 条件极值和Lagrange乘数法 7.7.1 多元函数的极值 1. 多元函数极值的定义 （以二元函数为例） 2. 多元函数取得极值的必要条件 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 可能极值点: (i)驻点 (ii)偏导数不存在的点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 3. 极值的充分条件 定理7.7.2 (充分条件)设函数z=f (x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数， 又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令 fxx(x0，y0)=A，fxy(x0，y0)=B， fyy(x0，y0)=C，则f (x，y)在(x0，y0)处,则 (3) AC－B2 = 0时可能有极值，也可能没有极值，还需要另作讨论 　(1) AC－B2 0时具有极值，且当A0时有极大值，当A 0时有极小值； (2) AC－B2 0时没有极值 4. 求极值的步骤 设f (x，y)的二阶偏导数连续。 （1）求驻点，即解方程组fx(x，y)=0， fy(x，y)=0； （3）依定理判断。如偏导不存在，则通常用定义 判别。 （2）在每个驻点处求A，B，C； 例1 求函数f (x，y)= x3－y3+3x2+3y2－9x的极值 解 先解方程组 求得驻点为(1，0),(1，2),(－3，0),(－3,2). 再求出二阶偏导数 在点（1，0）处，AC－B2 = 12·6 0，又 A0 fxx(x，y) = 6x+6，fxy(x，y)=0，fyy(x，y)=－6y+6 所以函数在（1，0）处有极小值f（1，0）=－5； 在点（－3，0）处，AC－B2 =－12·60， 在点(－3,2)处,AC－B2 =－12·(－6)0,又 A 0， f（－3，2）=31。 在点（1，2）处，AC－B2 = 12·(－6)0， 所以f（1，2）不是极值； 所以f（－3，0 ）不是极值； 所以函数在（－3，2）处有极大值 5. 多元函数的最值 一般方法: 求f (x，y)在D内的驻点，将f (x，