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2018-04-20 发布于河南
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线性代数2.2,2.3

在数的运算中，当数a?0 时，有 a-1a=aa-1=1 其中a-1为a的倒数， (或称a的逆)；在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵 A-1使得, A-1A=AA-1=E 则矩阵A-1称为A的逆矩阵或逆阵。定义：对于n阶方阵A, 如果存在一个方阵 B使得, BA=AB=E 则方阵B称为A的逆矩阵或逆阵。方阵A的逆矩阵记作A-1。例设定理1 矩阵A可逆的充要条件是|A|?0，且当A可逆时有：第二、三节第二章一、矩阵的运算（二）二、逆矩阵三、逆矩阵的运算性质定义：行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵的伴随矩阵. 1、伴随矩阵（方阵）一、矩阵的运算（二）思考：A×A*=？ A*×A=？下一页下一页 2、逆矩阵 ?B是A的一个逆矩阵。下一页下一页说明：若A 是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 证明：若设 B和 C是A的逆矩阵，则有 AB=BA=E，AC=CA=E。可得B=EB=（CA）B=C（AB）=CE=C 所以A的的逆矩阵是唯一的，即B=C=A-1 。例2 设是 A 的逆矩阵，则解利用待定系数法，设 . 求A的逆阵。下一页所以又因为下一页其中A*为矩阵A的伴随矩阵. 证明（必要性）若A可逆，即有A-1使AA-1=E。故|A|?|A-1|=|E|。所以|A|?0。下一页按逆矩阵的定义得这也是伴随矩阵的一个基本性质。例3 求方阵的逆矩阵. 解同理可得故下一页 A13=2 推论: 证明 =A-1E=A-1 定义：当|A|=0,A称为奇异矩阵,当|A|?0时A称为非奇异矩阵。下一页三、逆矩阵的运算性质证明下一页证明下一页下一页