第四部分随机变量数字特征.pptVIP

§1 数学期望 11.13 §3 协方差及相关系数 1、协方差的定义 的数字特征。 的数学期望为X与Y的协方差。 记为 即 称函数 对给定的二维随机变量 ， 对于二维随机变量度 ， 我们不仅关心随机变量X和Y 也关心反应随机变量X与Y之间关系的数字特征。 反应随机变量之间关系的数字特征主要有协方差和相关系数。 （1）离散型 （2）连续型 2、协方差的计算 1、协方差的定义 的数学期望为X与Y的协方差。 记为 即 称函数 对给定的二维随机变量 ， 3、协方差的性质 （1） （2） （3） （4） （8） （5） （6） （7） 4、相关系数的定义 随机变量 的相关系数 定义为 或记为 标准尺度下的协方差 5、相关系数的意义 考虑用X的线性函数 来近似表示Y。 记 显然， 若e 越小，表示 与Y的近似程度越好。 即e 刻划了 与Y 的近似程度。 又 均方误差 下面，我们来求Y的最佳线性近似。 解得 从而 5、相关系数的意义 考虑用X的线性函数 来近似表示Y。 记 显然， 若e 越小，表示 与Y的近似程度越好。 即e 刻划了 与Y 的近似程度。 均方误差 6、相关系数的性质 （1） （2） 当且仅当存在常数a, b，使得 。 5、相关系数的意义 考虑用X的线性函数 来近似表示Y。 记 显然， 若e 越小，表示 与Y的近似程度越好。 即e 刻划了 与Y 的近似程度。 均方误差 6、相关系数的性质 （1） （2） 当且仅当存在常数a, b，使得 。 相关系数 为表征随机变量X与Y之间线性关系紧密程度的量。 越大，表示X与Y的线性相关程度越好。 5、相关系数的意义 7、不相关 若 ，则称随机变量X与Y不相关。 （1）若 ，则X与Y不相关。 （2）若随机变量X与Y相互独立，则X与Y不相关。 注： 独立一定不相关，不相关不一定独立。 例1 设（X,Y）的联合分布律为 （1）求X与Y的相关系数； （2）讨论X与Y的独立性。 例2 设二维随机变量 的联合密度为 试求数学期望 ，方差 ，协方差 ，相关 系数 ,并求 　　 　 　。　　　　　　　　　 例2 设二维随机变量 的联合密度为 试求数学期望 ，方差 ，协方差 ，相关 系数 ,并求 　　 　 　。　　　　　　　　　 解 例2 设二维随机变量 的联合密度为 试求数学期望 ，方差 ，协方差 ，相关 系数 ,并求 　　 　 　。　　　　　　　　　 例2 设二维随机变量 的联合密度为 试求数学期望 ，方差 ，协方差 ，相关 系数 ,并求 　　 　 　。　　　　　　　　　 例2 设二维随机变量 的联合密度为 试求数学期望 ，方差 ，协方差 ，相关 系数 ,并求 　　 　 　。　　　　　　　　　 8、二维正态分布的相关系数: 从而相关系数 于是 其联合密度函数为 则 相互独立当且仅当 于是，我们有　 则 相互独立当且仅当　 不相关． 独立一定不相关,不相关不一定独立. 通过以上讨论, 我们得到如下结论: 但如果 服从二维正态分布, 则 相互独立与　 不相关等价． 例3 设随机变量X与Y的相关系数为0.5，且 则 补充例题 例4 已知随机变量 与 的方差和协方差分别为 试求 与 的方差与协方差. 例5 设随机变量