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整除问题初步 整除的定义 如果整数a除以b(b≠0)，除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b∣a. 如果除得的结果有余数，我们就说a不能整除b，也可以说b不能整除a. 整除的基本性质 ⒈尾数判断法 ⑴能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除。 ⑵能被4、25整除的数的特性：个位数字能被4、25整除。 ⑶能被8、125整除的数的特性：个位数字能被8、125整除。 ⒉数字求和法 能被3、9整除的数的特性：各位数字之和能被3、9整除。 ⒊奇偶位求差法 能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。 我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，·····，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，·····，统称为偶数位。我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇数和”，“偶数位上的数字之和”简称为“偶数和”。 例题1 判断下面11个数的整除性：23487、3568、8875、6765、5880、7538、198954、6512、93625、864、407 ⑴这些数中，有哪些能被8整除？哪些能被4整除？ ⑵哪些能被25整除？哪些能被125整除？ ⑶哪些能被3整除？哪些能被9整除？ ⑷哪些能被11整除？ 练习1 在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除，哪些能被3整除，哪些能被11整除？ 例题2 是一个四位数，文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9、11、8整除。”问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？ 练习2 在的方框内先后填入3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除。 例题3 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话，服务人员告诉他，目前只有形如“”的号码可以申请。也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动。王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码。请问：他申请的号码可能是多少？ 练习3 七位数“”能被44整除，那么这个七位数是多少？ 例题4 牛叔叔给45名工人发完工资后，将总数记在一张纸上。但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“”，其中方框表示破了的洞。牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元。 请问：这45名工人的总工资有可能是多少？ 练习4 四位数能被36整除，那么这个四位数可能是多少？ 例题5 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？ 练习5 由1、 3、 4 、5、 7、 8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？ 课后练习 下面有9个自然数：48 、75 、90 、122 、650 、594 、4305 、7836 、4100。其中能被4整除的有哪些？能被25整除的有哪些？ 有如下5个自然数：12345、189 、333666 、54289 。其中能被9整除的有哪些？ 有如下5个自然数：3124 、3823 、45235 、5289 、5588。其中能被11整除的有哪些？ 是一个四位数。王老师说“我在其中的方框内填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9 、11 、8整除。”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？ 阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出“”元（□表示不明数字）。请问总价应该是多少？