等腰三角形的性质与判定(经典).docVIP

等腰三角形的性质与判定 知识梳理 1．等腰三角形的概念： 有　　　　　相等的三角形，叫做等腰三角形，　　　　　　　叫做腰，另一条边叫做　　　　．两腰所夹的角叫做　　　　，底边与腰所夹的角叫做　　　　　． 2．等腰三角形性质定理： (1)等腰三角形的两个　　　　相等，也可以说成　　　　　　　　． (2) 三线合一：即　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． (3)等腰三角形是　　　　　　　　　图形． 3．等腰三角形的判定： (1)有　　　　相等的三角形是等腰三角形． (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角　　　　　　　也相等．简写成　　　 　　　　． 例题讲解 例1等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长． 例2如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD．求证：△DBC是等腰三角形． 例3 如图，AB=AE，BC=ED， ∠B=∠E．求证：∠C=∠D． 　 例4如图，AB=AC，BD⊥AC于D． 求证：∠BAC=2∠DBC． 例5 有关等腰三角形的基本图形． （1）如图3，若OD平分∠AOB，DE∥OB交OA于E．求证：EO＝ED．提问：这个结论的逆命题是否正确？ （2）如图 3，若 OD平分∠AOB， EO＝ED，求证： DE∥OB． （3）如图 3，若 DE∥OB交OA于E， EO＝ED，求证： OD平分∠AOB． 有关题组练习． （1）如图4，AD∥BC， BD平分∠ABC．求证： AB＝AD． （2）已知：如图5（a），AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．问：①图中有几个等腰三角形？②如图5（b），若过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，图中又增加了几个等腰三角形？ （3）如图5（c），若将第（2）题中的△ABC改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？ (4）对第（3）题中“两内角平分线”可作怎样的推广？相应的线段和差关系如推广①当过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时，如图5（d）推广②当过△ABC的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时，如图5（e） （5）如图6，若BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，过D作DE∥AB交BC于E，作DF∥AC交BC于F．求证：BC的长等于△DEF的周长． 在△ABC中，AB=AC，若∠B=56o，则∠C=__________． 2． 若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________． 3． 若等腰三角形的两边长分别为xcm和（2x－6）cm，且周长为17cm，则第三边的长为________． 4． 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，若 ∠CAD=25°，则∠ABE=　　　 ，若BC=6，则CD=　　　 ． 5．△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D．E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中等腰三角形有______个 6．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°，则其顶角的大小为___________． 7．如图，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB到D，使BD=AB，延长BC到E，使CE=CA，连接AD．AE，则∠DAE=_______． 8．如下图，△MNP中， ∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是 ． 9．△ABC中，∠C=∠B，D．E分别是AB．AC上的点，AE=2cm，且DE∥BC，则AD=______ 10．如图，∠AOB是一个钢架且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些 钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根． 11．如图△ABC中，AB=AC，AD、BE是△ABC　的高，它们相交于H，且AE=BE． 求证：AH=2BD． 12．△ABC为非等腰三角形，分别以AB、AC为 　　　　　 向△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角　　　形ACE，且∠DAB=∠EAC=90°． 求证：（1）BE=CD；（2）BE⊥CD． 13．如图，点D、在的边上，，． 求证： 14．如图，，，且．求的度数． 15.如图，中，，于 ，平分交于，交于，求证：是等腰三角形． 16．Rt中，，， 为 中点，若点．分别在线段．上移 动，且在移动过程中保持，试判断 的形状，并证明你的结论． 17.已知：如图，△ABC中，D在