第五章特征值(考研精讲).docVIP

第五章 特征值与特征向量 1、数字型矩阵的特征值与特征向量 知识点： 定义：1o设阶方阵，如果存在数λ和非零向量使得，则称λ是A的特征值，称非零向量是属于λ的特征向量. 2o由 称为A的特征矩阵 为A的特征多项式，它的根就是A的特征值. 求法：1）特征值： 2）特征向量：即求解线性方程组. 注：属于同一个特征值的线性无关的特征向量为 . 例1. 解： 2、抽象矩阵的特征值与特征向量 例2. 设3阶矩阵A的三个特征值为1，－2，3，则 －6 ，A－1的特征值为 A*的特征值为 －6,3,-2 A2+2A+E的可逆性 可逆 4,1,16 例3. 设是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值为（ ）. 例4. 设向量都是非零向量，且满足条件， 求（1）A2 （2）矩阵A的特征值和特征向量 例5. 设A为3阶矩阵，且，则 解：A为特征值为： 11＝126 3、已知矩阵的特征值和特征向量来求矩阵和行列式等问题 1）已知特征向量，一般用求解 2）已知全部特征值和特征向量反求矩阵A 则 3）已知部分特征值和特征向量，反求另一部分特征值，特征向量或矩阵A 4）已知特征值反求行列式 例6.设有特征值，试求参数a,b的值. 解：分析：用特征议程可建立两个方程 得 得 由①②得 例7.设矩阵可逆，向量是A*的一个特征向量，λ是α对应的特征值，求a,b,λ. 解： 由可逆，知λ≠0，从而. 即. 得 ①－②得 a=2 ①b－②得 b=1或b=-2 故 当时，；当 例8.已知是实对称矩阵A的三个特征值，且对徉的特征向量为，求A对应于λ1＝6的特征向量及矩阵A 解：设A对应于λ1＝6的特征向量，由于A实对称属于不同特征值正交 故 故 ∴属于λ1＝6的特征向量为 进一步 故 4、矩阵相似和对角化的题目（2000，2001，2002，2003，2005，2007） 知识点：1o相似矩阵具有相同的特征多项式 2o矩阵A可对角化的充要条件且属于A的特征值的线性无关的特征向量个数之和有于。当A可对角化时，把个线性无关的特征向量作为矩阵P的列向量，则为对解矩阵，且对角矩阵的主对角线性的元素是A的个特征值。 3o实对称矩阵必相似于对角矩阵 例9.设A与B相似，其中 （1）求 （2）求可逆矩阵P，使 分析：已知相似，反过来求参数 解：法一 A～B，故有相同的特征多项式 得 令 得 令 得 法二： （2）由（1）知 由，对应特征向量为 令 例10.设 （1）求出A的所有特征值和特征向量 （2）判断A能否对角化？如能对角化，则求出相似变换矩阵P，使A化为对角形矩阵。 解：（1）由 ∴A的特征值为 对应于 对应于 对应于 （2）A有三个不同的特征值，故有三个线性无关的特征向量，故A可以对角化 令 则 例11.设矩阵，已知A有三个线性无关的特征向量，是A的二重特征，试求可逆矩阵P，使得为对角形矩阵。 解：因为A有三个线性无关的特征向量，时A的二重，故对应于的线性无关的特征向量有两个，故秩 练习 若3阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1,-1,2，计算： （1） （2） ① ② ③