概率论Chp3.pptVIP

例1 以X,Y分别表示某医院一天中出生的婴儿 总数和男婴数。(X,Y)的联合分布律为 求: (1) 边缘分布律 (2) 条件分布律 解(1) 关于X的边缘分布律 关于Y的边缘分布律 (2)条件分布律 例2 一射击手进行射击, 击中目标的概率为p(0p1), 射击到击中目标两次为止, 设以X表示首次击中目标 进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数,试求 X和Y的联合分布律和条件分布律. 二、二维连续型随机变量 称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数, 练习 §4. 相互独立的随机变量 若两个事件A, B满足P(AB)=P(A)P(B), 则称A, B相互独立. 定义: 例1 (X,Y)由联合分布 证明X与Y独立。 定理: 如果(X,Y)是二维离散型随机变量,则 X,Y相互独立的充要条件是:对任意的一对 值(xi,yj)有 所以X,Y相互独立。 证明（充分性） 定理 如果(X,Y)是二维连续型随机变量,则 X,Y相互独立的充要条件是:在 f(x,y)的连 续点(x,y)处，有 证明 充分性： 必要性:若 X,Y相互独立,即 将上式两边对x,y求导即得。 前面例子有放回取球试验中X,Y独立，无放 回则X,Y不独立，射击试验中X,Y不独立。 例 判定独立性 命题：设(X, Y)服从二维正态分布, 则X, Y相 互独立的充要条件是 ?=0. 定理：设X=(X1, X2, …, Xm)和Y=(Y1, Y2, … Yn) 相互独立, 则 Xi(i=1,2, m)和Yj(j=1,2, n)相互独立; 又若h, g是连续函数, 则 h(X)和g(Y)相互独立. 定理：若X，Y相互独立，则 即条件分布与无条件分布相等。 §5. 二维随机变量的函数的分布 问题：已知 Z=g(X,Y),以及(X,Y)的联合分布， 如何求出Z的分布？ 1 (X,Y)为二维离散型随机变量 例1 设二维随机变量(X,Y)的分布律为下表 试求:(1) Z1=X+Y;(2) Z2=XY;(3)Z3=max(X,Y) 的分布律。 解：列下表 (1)Z1=X+Y的分布律为 (2)Z2=XY 的分布律为 (3)Z3=max(X,Y)的分布律为 证 Z=X+Y可能的取值为0,1,2,…,且 由概率的有限可加性及X,Y的独立性可得 * 第三章 多维随机变量及其分布 n维随机变量定义: 设E是一个随机试验, 样本 点是?，若X1(?), X2(?), …, Xn(?)是定义在样本 空间上?的n个随机变量,则称 构成一个n维随机变量,简记为 X=(X1,X2,…,Xn) 1. 二维随机变量(联合)分布函数: 联合分布函数. §3.1 二维随机变量 (1) F(x,y)是变量x或y的单调不减函数，即 联合分布函数的性质： (3) F(x,y)关于x,y都是右连续的，即 2. 二维随机变量的分布 (一) 二维离散型随机变量的分布律 例1 一袋子中有5个球，其中2个球上标有数字 “1”，3个球上标有数字“0”。X,Y分别表示第一、 二次取得的数字，求(X,Y)的联合分布律。 解: (X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1) (1)有放回取球，对应概律为 P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0)=3/5?3/5=9/25 (X,Y)的分布律为 (2)无放回取球，对应概率为 P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0) =3/5?2/4=3/10 (X,Y)的分布律写成表格为 例2. 设随机变量X在1, 2, 3, 4四个整数中等可能 地取值, 随机变量Y则在1~X中等可能地取一整 数, 试求(X, Y)的分布律. (二) 二维连续型随机变量的联合概率密度 3. 二维均匀分布及二维正态分布 (1) 二维均匀分布 设G是平面上的有界区域,面积为 A,若二维随机 变量(X,Y)具有概率密度 则称(X,Y)在G上服从均匀分布. 若区域G1是G内的面积为A1的子区域,则有 (2) 二维正态分布 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 二维正态分布， §2. 边缘分布 一、边缘分布函数： 二、边缘分布律： 二维离散型随机变量(X,Y)的分量X,Y 的分布律 P(X=xi ), P(Y=yi ) (i=1,2,…) 分别称为(X,Y)关于X,Y的边缘分布律。 设(X,Y)的联合分布律 P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,