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例5 已知 且 与 的相关系数 设 求 及 解 因 且 所以 又因 故 完 例6 设二维随机变量 求相关系数 解 根据二维正态分布的边缘概率密度知 而 例6 设二维随机变量 求相关系数 解 令 则有 例6 设二维随机变量 求相关系数 解 则有 即有 于是 例6 设二维随机变量 求相关系数 解 则有 即有 于是 注: 从本例的结果可见, 二维正态随机变量 的分布完全由 和 各自的数学期望、 方差以及 它们的相关系数所确定. 此外, 易见有结论: 完 若 服从二维正态分布, 则 与 相互独立, 当且仅当 与 不相关. 矩的概念 定义 设 和 为随机变量， 为正整 数， 为 阶原点矩 (简称 阶矩); 为 阶中心矩 为 阶绝对原点矩； 为 阶绝对中心矩； 称 为 和 的 阶混合矩; 为 和 的 混合中心矩. 注: 由定义可见： 矩的概念 混合中心矩. 注: 由定义可见： (1) 的数学期望 是 的一阶原点矩； (2) 的方差 是 的二阶中心矩； (3) 协方差 是 与 的二阶混合中 心矩. 完 协方差矩阵 将二维随机变量 的四个二阶中心矩 排成矩阵的形式： 对称矩阵 称此矩阵为 的协方差矩阵. 类似定义 维随机变量 的协方差 矩阵. 若 协方差矩阵 类似定义 维随机变量 的协方差 矩阵. 若 都存在， 为 的协方差矩阵. 完 称 维正态分布的概率密度 先考虑二维正态分布的概率密度， 再将其推广到 维情形. 二维正态随机向量 的概率密度为 记 协方差矩阵 易验算 维正态分布的概率密度 易验算 故二维正态随机向量 的概率密度可用矩阵 表示为 其中 是 的转置. 维正态分布的概率密度 进一步， 向量， 若它的概率密度为 设 是一个 维随机 则称 服从 维正态分布. 其中， 是 的协方差矩阵， 是它的行列式， 表示 的逆矩阵， 和 是 维列向量， 而 是 的转置. 完 维正态分布的几条重要性质 1. 维正态变量 的每一个分量 都是正态变量， 反之， 若 2. 维正态变量 服从 维正态 分布的充要条件是 任意线性组合 均服从一维正态分布 正态变量. 都是 不全为 零）. （其中 3. 若 服从 维正态分布， 维正态分布的几条重要性质 3. 若 服从 维正态分布， 设 是 的线性函数， 则 也服从 维正态分布. 注： 这一性质称为正态变量的线性变换不变性. 4. 设 服从 维正态发布， 则“ 相互独立” 等价于“ 两两不相关” . 完 例7 设随机变量 和 相互独立 , 试求 的概率密度. 解 且 与 独立 , 故 和 的联合分布为正态分布 , 性组合是正态分布 , 且 即 和 的任意线 * 引言 对多维随机变量， 随机变量的数学期望和方差只反 映了各自的平均值与偏离程度， 并没能反映随机变 量之间的关系. 本节将要讨论的协方差是反映随机 变量之间依赖关系的一个数字特征. 在证明方差的性质时， 已经知道， 当 与 相互独 立时， 有 反之则说明， 当 时， 与 一定不相互独立， 这说明量 引言 反之则说明， 当 时， 与 一定不相互独立， 这说明量 在一定程度上反映了随机变量 与 之间的关系. 完 协方差的定义 定义 设 为二维随机向量， 若 存在， 则称其为随机变量 和 的协方差， 记为 即 按定义， 其概率分布为 则 若 为连续型随机向量， 其概率密度为 为离型随机向量， 若 协方差的定义 若 为连续型随机向量， 其概率密度为 则 此外， 利用数学期望的性质， 易将协方差的计算 化简. 特别地， 有 与 独立时， 当 完 协方差的性质 1. 协方差的基本性质 (1) (2) (3) 常数； (4) (5) 其中 是 为任意常数； (6) 当 与 相互独立， 2. 随机变量和的方差与协方差的关系 则 协方差的性质 2. 随机变量和的方差与协方差的关系 特别地， 若 与 相互独立， 注： ① 上述结果可推广至 维情形： 则 ② 若 两两独立， 则有 协方差的性质 ② 若 两两独立， 则有 ③ 可以证明： 若 的方差存在， 则协方差 一定存在且满足下列不等式： 完 例1 已知离散型随机向量 的概率分布如右表, 求 解 容易求得 的概率分 的概率分布为 布为 例1 已知离散型随机向量 的概率分布如右表, 求 解 计算得 于是有 于是 完 例2 设连续型随机变量 的密度函数为 求 和 解 由 的密度函数可求得其边缘密度函 数分别为: 例2 设连续型随机变量 的密度函数为 求 和 解 于是 例2 设连续型随机变量 的密度函数为 求 和 解 于是 从而 又 所以 例2 设连续型随机变量 的密度函数为 求 和 解 于是 从而 又 所以 故 完 相关系数的定义 协方差是对两个随机变量的协同变化的度量， 其大小 在一定程度上反映了 和 相互间的关系， 但它