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高考拿分题专项训练（2） 命题人：王水牛 2013年3月20日 时间40分钟 三．解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17.（本小题满分12分）已知锐角中的内角的对边分别为，定义向量 ， 且． （Ⅰ）求函数的单调递增区间； （Ⅱ）如果，求的面积的最大值。 18．（本小题满分12分）已知数列，满足：，当时，；对于任意的正整数，有成立．设数列的前项和为. （Ⅰ）计算、，并求数列的通项公式； （Ⅱ）求满足的正整数的集合. 20.（本小题满分12分）在平面内，不等式确定的平面区域为，不等式组确定的平面区域为. （Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”. 在区域中任取个“整点”，求这些“整点”中恰好有个“整点”落在区域中的概率； （Ⅱ）在区域中每次任取一个点，连续取次，得到个点，记这个点落在区域中的个数为，求的分布列和数学期望． 18.（12分） 解：（Ⅰ）在中，取，得，又，故 同样取，可得 由及两式相减，可得， 所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为，而， 故是公差为的等差数列， …………………… （6分） (注：猜想而未能证明的给分；用数学归纳法证明不扣分.) （Ⅱ）在中，令，得 由与两式相减，可得， 化简，得. 即当时，. 经检验也符合该式，所以的通项公式为.∴， 两式相减，得. 利用等比数列求和公式并化简,得.………………9分 可见，对，.经计算，， 注意到数列的各项为正，故单调递增， 所以满足的正整数的集合为………12分 19. （12分）解：（Ⅰ）证明：在梯形中， ∵ ,， ∠＝，∴ ∴ ∴ ∴　⊥ ∵ 平面⊥平面,平面∩平面, 平面 ∴ ⊥平面 ……………………6分 ∴ …………………10分 ∵ ∴　当时，有最小值， 当时，有最大值. ∴ ……………12分 20 （12分） 解：（Ⅰ）依题可知平面区域的整点为：共有13个，上述整点在平面区域的为：共有3个， ∴. ………………………………………（4分） （Ⅱ）依题可得，平面区域的面积为， 平面区域与平面区域相交部分的面积为. （设扇形区域中心角为，则得，也可用向量的夹角公式求）. 在区域任取1个点，则该点在区域的概率为，随机变量的可能取值为：. ， ， ， ， ∴的分布列为 0 1 2 3 …………（10分） ∴的数学期望：. …………（12分） （或者：～，故）.