复变第五章题目.pdfVIP

习题5.1 1．下列函数有些什么类型的孤立奇点，对于极点， n 指出它的级，其中 为正整数. （1）1/[z (ez 1)] 解：函数1/[z (ez 1)] 的孤立奇点为z0 0 和 zk Ln1 2ki (k 0, 1, 2, ) . 其中 z0 0 为 f (z ) z 的一级 零点 ， zk 2ki (k 0, 1, 2, ) 为函数ez 1 的零点且 (ez 1) ez 在这些点处不为零，由5.1 节定理1， 这些点为函数ez 1 的一级零点. 于是由 5.1 节定理 2 的推论2，z0 0 为函数 z(ez 1) z 0 的二级零点，又由其推论1，0 为原函 数1/[z (ez 1)] 的二级极点. 同理zk 2ki (k 0) 为原函数1/[z (ez 1)] 的 简单极点. 1 （2）1/(z3 z2 z 1) 3 2 2 解：1/(z z z 1) 1/[(z 1) (z 1)] 显然z 1 和z 1 为函数1/(z3 z2 z 1) 的 孤立奇点，由 1 1/(z 1) 3 2 2 , z z z 1 (z 1) 1 1/(z 1)2 z3 z2 z 1 z 1 z 1 z 1 及极点判别法得 为二级极点， 为一级极 点. 注意：极点不能写成级点！ m 级极点不能写成m 极极点！ （3）1/ sinz2 解：显然1/ sinz2 的奇点为使sin z2 0 即 z2 m(m Z) 的点，所以1/ sinz2 的孤立奇点为 zk  k和i k(k 0,1, 2, ) . 2 对于z0 0 ，它为函数sin z2 的零点且 (sin z 2 ) 2z cos z 2 0, z 0 z 0 (sin z 2 ) 2(cos z 2 2z 2 sin z 2 ) 2 0, z 0 z 0 由