近世代数中关于商群、商环乘法的理解.pdfVIP

第37卷第10期 西南师范大学学报(自然科学版) 2012年10月 V01．37 No．10 ofSOuthwestNormal Jourml Chim science Edition)Oct． 2012 University(Natural 文章编号：1000一547l(2012)lO—003l—04 近世代数中关于商群、商环乘法的理解① 何立官1’2， 陈贵云2， 罗 萍1 1．重庆师范大学数学学院，重庆401331；2．西南大学数学与统计学院，重庆400715 摘要：近世代数是高校数学专业学生的基础课程之一．该课程十分抽象，不易理解，特别是商群、商环部分的学 习比较困难．文章通过实例对商群、商环的乘法运算加以说明． 关 键词：近世代数；商群；商环；乘法 中图分类号：0153；G423 文献标志码：A 数学理论的产生有两种模式，一是来自生产力发展的要求，如自然数理论、欧氏几何、概率论、数理统 计理论等的建立；二是由其它学科或者数学本身的发展需要而产生并建立起来的新的数学理论，如非欧几 何、抽象群理论、押一维欧氏空间(≥4)、量子群论等‘1|．在对数学知识的学习和理解的过程中，应尽量掌 握知识产生的根源，并尽量将之与实际结合起来，这样才能牢牢掌握知识，不至于在脑海中只有纯粹抽象 的数学概念．这里我们具体谈谈对近世代数中商群、商环乘法的理解． 1 关于集合的乘法 设H，K是代数系统G的两个子集．由所有可以写成磁(矗∈H，惫∈K)形式的G的元作成的集合叫 里的元素相乘．当G不交换时，一般有HK≠KH． 例1 K一{(13)}，有 HK一{(12)(13)，(13)(13)}一{(123)，(1)} KH={(13)(12)，(13)(13))一{(132)，(1)} 显然HK≠KH． 如果取G的两个子集H一((123)，(132)}，K一{(12)，(13))，则 2 关于商群的乘法 在文献[2—3]中，商群是这样叙述的：设G是一个群，N为G的正规子群．把N的所有陪集作成一个 ①收稿日期：2011一03—23 2009BB8111)；重庆教委科技项目(KJll0609)． 作者简介：何立官(1979一)，男，贵卅l沿河人，博士，主要从事有限群论的研究． 通信作者：陈贵云，教授，博士生导师． 32 西南师范大学学报(自然科学版) http：／／xbbjb．swu．cn第37卷 集合 S一{口N，6N，洲，…) 在S的元间定义一个乘法运算 (zN)(yN)一(驯)N (1) 则s对乘法(1)作成一个群，这个群就称为G的一个商群，记为G／N． 很多学生学到这里时一般会有丽个疑惑：表达式(1)是按什么规律定义的?为什么陪集的乘法与陪集 代表元的选择无关?如果我们清楚了陪集乘法的本质含义，清楚了商群G／N的乘法与群G的乘法之间的联 系，就自然明白了上面的两个问题． 际上表达式(1)就是普通集合的乘法运算，只不过最终结果仍然是N的一个陪集而已．要说明这一点，只 需验证zN，yN作为两个集合相乘最终结果等于陪集(删)N即可． 设N={n。，行。，行。，…}．一方面，按集合相乘有 (zN)(yN)一{删：ln：∈N){”，1咒i∈N}一 (2) {(姗j)(妒j)l咒。，n，∈N)={工(以；y)n，【咒，，豫，∈N) 因为N为正规子群，所