数论ch2-2节.pptVIP

* §2 剩余类和完全剩余系 定义2.1 设m是一个给定的正整数, 记 Cr ? { qm ? r | q?Z }, r ? 0, … , m?1. 称C0, …, Cm ?1为模m的剩余类. 完全剩余系 定义2.2 在模数m的剩余类C0, C1, … , Cm ?1中各取一数aj ? Cj , j ? 0, 1, … , m ? 1. 这m个数a0, a1, … , am ?1称为模数m的一组完全剩余系. 注: {0, 1, … , m ? 1}是模数m的一组完全剩余系, 称为模数m的非负最小完全剩余系. 性质 定理2.2 m个整数作成模数m的一组完全剩余系的充要条件是它们两两对模数m不同余. 注：一组整数构成模m的完全剩余系的条件:1.个数为m; 2.两两不同余 性质 定理2.3 设(k, m) ? 1, 而a1, … , am 是模数m的一组完全剩余系, 则ka1, … , kam 是模数m的一组完全剩余系. 进一步, 设b为任意整数, 记X ? {a1, … , am}, 则 kX ? b 也是模数m的一组完全剩余系. 性质 定理2.4 设m1 0, m2 0, (m1, m2) ? 1, 而x1, x2 分别通过模数m1, m2的完全剩余系, 则m2 x1? m1x2通过模数m1m2的完全剩余系. 性质 性质 定理2.5 设m 2, 并设a1, …, am和b1,…, bm分别是模数m 的完全剩余系, 则a1b1, …, ambm不是模数m 的完全剩余系. 注：两个完全剩余系对应项相乘不构成完全剩余系. 当m为偶数时, 两个完全剩余系对应项相加也不构成完全剩余系. 剩余类环 定义2.3 称Z/(m) ? {0, 1, … , m?1}为整数模m的剩余类环, 也记为Z/mZ, 或简记为Zm. 记Zm* ? { x?Zm | (x, m) ? 1}为Zm中与m互素的元素构成的集合. 它是剩余类环Zm的乘法群. 注：当m为素数时, Zm构成m元有限域, 且Zm*为循环群. 一般的, 当m有原根时, Zm*为循环群. 剩余类环即为Z模理想mZ的商环. * 模m的m个剩余类. 性质:每个整数恰好包含在某一类中, 且两个整数属于同一类当且仅当它们模m同余. * 一组整数构成模m的完全剩余系的条件:1.个数为m; 2.两两不同余 * 由已知完全剩余系构造其它的完全剩余系 * 两个完全剩余系对应项相乘不构成完全剩余系. 当m为偶数时, 两个完全剩余系对应项相加也不构成完全剩余系. (习题3) * * * * 模m的m个剩余类. 性质:每个整数恰好包含在某一类中, 且两个整数属于同一类当且仅当它们模m同余. * 一组整数构成模m的完全剩余系的条件:1.个数为m; 2.两两不同余 * 由已知完全剩余系构造其它的完全剩余系 * 两个完全剩余系对应项相乘不构成完全剩余系. 当m为偶数时, 两个完全剩余系对应项相加也不构成完全剩余系. (习题3) * 当m为素数时, Zm构成m元有限域, 且Zm*为循环群. 一般的, 当m有原根时, Zm*为循环群. 剩余类环即为Z模理想mZ的商环.