2018年湖北省巴东一中高中数学人教A版选修2-1新课程教案：3.2.2空间角与距离的计算举例.docVIP

§3.2.2空间角与距离的计算举例 【学情分析】： 教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,上次课已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，所以本节课是通过举例来求空间的距离和角。我们可以将空间中的有关距离和角的问题，转化为空间向量的数量积来解决。 【教学目标】： （1）知识与技能：能用向量方法进行有关距离的计算能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题 学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题） 二、例题 例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解：如图1，设 化为向量问题 依据向量的加法法则， 进行向量运算 回到图形问题 这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。 思考： （1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ 分析: （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗? 分析: ∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。 （3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离） 分析：面面距离 点面距离 向量的模 回归图形 解： 练习: 如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长 例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a和b,CD的长为c, AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值 解：如图 化为向量问题 根据向量的加法法则 进行向量运算 设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。 因此 回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为 思考： （1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ 分析： ∴ 可算出 AB 的长。 （2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？ 分析：如图，设以顶点A为端点的对角线长为d，三条棱长分别为 a,b,c,各棱间夹角为. （3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等a，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？ 分析：二面角 平面角 向量的夹角 回归图形 解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1E⊥AB 于点 E，在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。 ∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。 练习： （1）如图4，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长。 2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。 让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。 例1的图形比较规范，容易把握，可以让学生很好地体会向量解题的优势。 提醒学生不能缺少这一步。 转化为向量。 这是例题1的推广，方法类似，学生进一步体会. 让学生体会空间距离的转化。 及时进行类比训练，巩固所学方法和技能。 例2是关于角的有关问题，引导学生找到相应的向量进行转化。 以下设计与例1类似。 三、拓展与提高 如图6，在棱长为a的正方体 中，E,F分别是棱 AB,BC上的动点，且AE=BF。 （1）求证： ； （2）当三棱锥 的体积取最大值时，求二面角 的正切值。 学生进行