2018年湖北省巴东一中高中数学人教A版选修2-1新课程教案：3.2.3利用向量解决平行与垂直问题.docVIP

§3.2.3利用向量解决平行与垂直问题 【学情分析】： 教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面又学习了用向量表示线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系，所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平行与垂直问题。本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中应重点抓住转换思想来进行. 【教学目标】： （1）知识与技能：继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法；会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题. （2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。 （3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。 【教学重点】：向量法与坐标法. 【教学难点】：立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化. 【课前准备】：Powerpoint课件 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一、复习引入 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”. 平行与垂直关系的向量表示。 为学习新知识做准备. 二、探究新知 一、用向量处理平行问题 分析：先复习共面向量定理。要解决问题，可以考虑将向量用向量线性表示出来。 评注： 向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使 p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 本题用的就是向量法。 （图略） 分析：面面平行线面平行线线平行。 评注： 由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。 本题选用了坐标法。 思考： 一般应如何建立空间直角坐标系？ 二、用向量处理垂直问题 （图略） 分析：线面垂直线线垂直。 评注： 本题若用一般法证明，容易证A’F垂直于BD，而证A’F垂直于DE， 或证A’F垂直于EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。 例4， 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理） 已知：如图,OB是平面的斜线，O为斜足，，A为垂足， 求证： 证明： 例1是一道线面平行问题，需要利用共面向量定理来证明。同时介绍解决问题的向量法。 联系共线向量来理解。 例2是关于面面平行的问题，联系几何定理与向量平行。同时介绍解决问题的坐标法。 例3是线面垂直问题，图形和例2一样是正方体，可进一步训练坐标法。 让学生体会坐标法的优势。 用向量法证明三垂线定理。 三、练习巩固 分别用向量法和坐标法解决以下问题： 向量法： 所以，结论成立。 坐标法： 证明：（图略） 巩固知识，培养技能. 四、小结 利用向量解决平行与垂直问题 向量法：利用向量的概念技巧运算解决问题。 坐标法：利用数及其运算解决问题。 两种方法经常结合起来使用。 反思归纳 五、作业 1，直三棱柱中，角ACB是直角，AC＝1，CB＝，侧棱=1，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M，求证CD平面BDM。 2，课本p.116第2题。 练习与测试： （基础题） 1，直三棱柱ABC—A1B1C1中，若， 则 　　　　　　　　　　 （　? ） 　　　 A．+－ 　　　　? B．－+ 　　 C．－++? 　　? D．－+－ 若向量、　　　　　　　 （　? ） 　　　 A．　? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．? 　　　 C．　　　　? D．以上三种情况都可能 一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直． .? 又， 即.……①　　　 . 　　　　 又，即.……②　 　　　　 由①+②得：即.. 如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点． 　 （1）求证：EF∥平面PAD； 　 （2）求证：EF⊥CD； 证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a， BC＝2b，PA＝2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)， 　　　　 D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c)　? ∵ E为AB的中点，F为PC的中点　　　　　　　　　　? 　　　　 ∴ E (a, 0, 0)，F (a, b, c) (1)∵ ＝(0, b, c)，＝(0, 0, 2c)，＝(0, 2b, 0) 　　　　 ∴ ＝(＋) ∴ 与、共面