第5章 微积分和级数第5章 微积分和级数.pptVIP

第5章 微积分和级数 内容提要 微分 积分 积分变换 微分方程 幂级数 极限和余式 5.1 微分 5.1.1 偏微分 5.1.3 未知函数的微分 5.2 积分 5.2.1 不定积分 5.2.3 定积分 5.2.4 数值积分 5.3 积分变换 5.3.1 拉普拉斯变换 5.3.2 傅里叶变换 5.4 微分方程 5.4.1 常微分方程 5.4.3 微分方程的数值解 5.5 幂级数 5.5.1 幂级数展开 5.5.3 幂级数的合成和反演 5.6 极限和余式 5.6.1 求极限 * * 求函数f的偏微分?f/?x 求多重偏微分?f/?x1?x2… 求n阶偏微分?nf /?xn 求?f/?x，其中v1,v2…依赖于x D[f,x] D[f,x1,x2,…] D[f,{x,n}] D[f,x,NonConstants→{v1,v2,…}] 意义 名称 偏微分操作函数 全微分操作函数 求全微分df 求全微分df/dx 求多重全微分df/dx1dx2… 求全微分，其中C1,C2,…为常数 设置dy/dx=0 在各种情况下，定义C为常数 Dt[f] Dt[f,x] Dt[f,x1,x2,…] Dt[f,x,Constants→{C1,C2,…}] y/:Dt[y,x]=0 SetAttributes[C,Constants] 意义 名称 5.1.2 全微分 单变量函数对变量的一阶导 单变量函数对变量的n阶导 多变量函数的导数，ni表示对第i个变量求导的阶数 F1[x] Fn[x] F(n1,n2,…)[x] 意义 名称 未知函数的微分输出形式 微分的定义函数 定义函数f的一阶导数 定义函数f的n阶导数 定义函数对不同变量的积分 F1[x_]:=rhs Derivative[n][f][x_]:=rhs Derivative[m,n…][f][x_,_]:=rhs 意义 名称 5.1.4 定义微分 在对多变量的函数求导时，Mathematica总是假定对变量的求导顺序不会影响全微分的最后结果 在计算指定点的微分的时候，Mathematica总是假定该点的微分存在 计算不定积分∫f(x)dx 计算不定积分∫dx∫f(x,y)dy 计算不定积分∫dx∫dy∫f(x,y,z)dz Integrate[f,x] Integrate[f,x,y] Integrate[f,x,y,z] 意义 名称 不定积分函数 5.2.2 不定积分的计算范围 我们在实际学习中知道，相对于微分来说，积分过程要复杂得多。Mathematica也是如此，对微分有链式法则等规则使Mathematica完成任何微分。但对于积分就没有一定的法则和步骤可以遵循，要根据具体的函数进行特殊的处理。 自定义的积分规则在本次运行Mathematica期间都会存在，直到关闭Mathematica，重新运行该程序，自定义积分规则才会自动失效，如果想在本次程序运行期间恢复函数Integrate的保护，可以用函数Protect[Integrate] 计算定积分 计算多重积分 Integrate[f,{x,xmin,xmax}] Integrate[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] 意义 名称 求定积分的函数 积分选项参数 PrincipalValue GenerateConditions Assumptions 选项参数 是否求柯西主值 结果中是否显式地给出条件 参数的条件进行设置 False True { } 意义 默认值 函数If的使用格式为If[condition,t,f]，如果condition为真时，返回t，为假时返回f。 求积分数值近似值 求多重数值积分 沿直线求数值积分 NIntegrate[f,{x,xmin,xmax}] NIntegrate[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] NIntegrate[f,{x,xmin,x1,x2,…,xmax}] 意义 名称 求数值积分的函数 AccuracyGoal PrecisionGoal MinRecursion MaxRecursion SingulartyDepth MaxPoints WorkingPrecision Compiled 选项参数 最终答案尽可能的准确度 最终答案尽可能的精确度 再分积分区的最小递归数 再分积分区的最大递归数 端点变量变换前的递归再分数 被积函数最大样本数 内部计算中使用的小数位数 积分式是否被编译 Infinity Automatic 0 6 4 Automatic $MachinePrecision True 意义 默认值 函数NInt