热传导方程傅里叶解热传导方程傅里叶解.docVIP

热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达： 其中： u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。 /是空间中一点的温度对时间的变化率。 , 与 温度对三个空间座标轴的二次导数。 k 决定于材料的热传导率、密度与热容。 热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。 如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。 热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。 热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。 利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式 其中的 是对空间变量的拉普拉斯算子。 热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。 就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。 以傅里叶级数解热方程[编辑] 以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作 Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。先考虑只有一个空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程如下： 其中 u = u(t, x) 是t 和 x 的双变量函数。 x 是空间变量，所以 x ∈ [0,L]，其中 L 表示棍子长度。 t 是时间变量，所以 t ≥ 0。 假设下述初始条件 其中函数 f 是给定的。再配合下述边界条件 . 让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件 (3) 并具备以下形式： 这套技术称作分离变量法。现在将 u 代回方程 (1)， 由于等式右边只依赖 x，而左边只依赖 t，两边都等于某个常数 ? λ，于是： 以下将证明 (6) 没有 λ ≤ 0 的解： 假设 λ 0，则存在实数 B、C 使得 从 (3) 得到 于是有 B = 0 = C，这蕴含 u 恒等于零。 假设 λ = 0，则存在实数 B、C 使得 仿上述办法可从等式 (3) 推出 u 恒等于零。 因此必然有 λ 0，此时存在实数 A、B、C 使得 从等式 (3) 可知 C = 0，因此存在正整数 n 使得 由此得到热方程形如 (4) 的解。 一般而言，满足 (1) 与 (3) 的解相加后仍是满足 (1) 与 (3) 的解。事实上可以证明满足 (1)、(2)、(3) 的解由下述公式给出： 其中 推广求解技巧[编辑] 上面采用的方法可以推广到许多不同方程。想法是：在适当的函数空间上，算子 可以用它的特征矢量表示。这就自然地导向线性自伴算子的谱理论。 考虑线性算子 Δ u = ux x，以下函数序列 （n ≥ 1）是 Δ 的特征矢量。诚然： 此外，任何满足边界条件 f(0)=f(L)=0 的 Δ 的特征矢量都是某个 en。令 L2(0, L) 表 [0, L] 上全体平方可积函数的矢量空间。这些函数 en 构成 L2(0, L) 的一组正交归一基。更明白地说： 最后，序列 {en}n ∈ N 张出 L2(0, L) 的一个稠密的线性子空间。这就表明我们实际上已将算子 Δ 对角化。 非均匀不等向介质中的热传导 一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量流的一种形式，因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。 单位时间内流入区域 V 的热量由一个依赖于时间的量 qt(V) 给出。假设 q 有个密度 Q(t,x)，于是 热流是个依赖于时间的矢量函数 H(x)，其刻划如下：单位时间内流经一个面积为 dS 而单位法矢量为 n 的无穷小曲面元素的热量是 因此单位时间内进入 V 的热流量也由以下的面积分给出 其中 n(x) 是在 x 点的向外单位法矢量。 热传导定律说明温度对时间的梯度满足以下线性关系 其中 A(x) 是个 3?×?3 实对称正定矩阵。 利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分 温度在 x 点对时间的改变率与流进 x 点所在的无穷小区域的热量成正比，此比例常数与时间无关，而可能与空间有关，写作 κ (x)。 将以上