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第二章 热传导方程 齐海涛 山东大学威海分校数学与统计学院 Email: htqisdu@ September28, 2011 目录 1 热传导方程及其定解问题的导出 2 2 初边值问题的分离变量法 4 3 柯西问题 7 4 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 10 5 解的渐近性态 12 1 1 热传导方程及其定解问题的导出 例1.1 一均匀细杆直径为 l,假设它在同一截面上的温度是相同的,杆的表面和周围介质发 生热交换, 并服从规律 dQ = k (u − u )dS dt. 1 1 假设杆的密度为 ρ ，比热为 c,热传导系数为 k,试导出此时温度 u 满足的方程. 解 取杆轴为 x 轴, 考察杆位于 [x , x + ∆x]的微段的热量平衡. 单位时间从侧面流入的热 量为 dQ = −k (u − u )πl∆x ; 1 1 1 单位时间从 x 处, x + ∆x 处流入的热量为 ∂u πl2 ∂u πl2 dQ2 = −k (x ) (x , t) · , dQ3 = k (x + ∆x ) (x + ∆x , t) · , ∂x 4 ∂x 4 故单位时间流入 (x , x + ∆x ) 的热量为 dQ = dQ + dQ + dQ = ∂ k (x )∂u ) · πl2 ∆x − k (u − u )πl∆x . 1 2 3 1 1 ∂x ∂x ∗ 4 x 综上,从时刻 t 到 t 流入位于 [x , x ] 杆段的热量为 1 2 1 2 ∫ t ∫ x [ ∂ k (x )∂u ) πl2 − k (u − u )πl] dx dt. 1 1 t x ∂x ∂x 4 而在这段时间内 [x