一个中考探究题的再探究(转载).docVIP

一个中考探究题的再探究 张岳芳（浙江省上虞市丰惠镇中学 312361） 2007年广东省广州市中考第25题是探究题，主要是探究等腰Rt△ADE绕点A逆时针转小于45°的角时，DM与BM的关系是否发生变化。试题如下： 已知Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM， （1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1①，求证：BM=DM且BM⊥DM； （2）如图1①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图1②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。 显然，第（1）比较简单，因△EDC与△EBC都是直角三角形，M是EC的中点，故DM=EC=BM，∠BMD=∠DME+∠BME=2∠MCD+2∠BCM=2∠BCA==90°，即BM⊥DM。不过，第（2）小题虽都能猜想到（1）中的的结论仍成立，但对于证明大家都觉得较困难。下面笔者对解决这一问题进行一些探究： 一、追根溯源，建立根据地 △ABC与△ADE都是等腰直角三角形，它是正方形的一部分，那么，我们是否可从两个正方形着手来进行探究呢？ 例1、如图2，在线段GF上取一点A，分别以线段 AG、AF为边分别作正方形ADEG、正方形ABCF，连CE， 取线段CE的中点M，连BM、MD。探究线段BM、MD 之间的关系，并加以证明。（2005年辽宁省大连市中考） 解：线段BM、MD之间的关系是：BM=DM 且BM⊥DM。 证明：延长DM交BC于N， ∵在正方形ADEG、正方形ABCF中，AB=BC，ED=AD，∠ABC=90°， ED∥GA∥BC，∴∠MED=∠MCN，又∵ME=MC，∠EMD=∠CMN ∴△EMD≌△CMN，∴DM=MN，ED=CN，∵ED=AD，∴AD=CN，∴BD=BN， 又∵∠DBN=90°，∴BM=DM，BM⊥DM。 二、横向探索，占领制高点 显然，上述探究并不能解决试题（2）小题的问题，但我们看到：只要将正方形ADEG顺时针旋转就得到了试题（2）小题的问题。 例2、将例1中的正方形ADEG顺时针旋转，其它条件不变，如图3，则例1所得到的结论是否仍成立。（2005年辽宁省大连市中考附加题） 分析：根据例1的证题思路，延长DM到N， 使MN=DM，连CN、BN、BD，易得△EMD≌△CMN， 此时再证△ABD≌△CBN即可。 证明：延长DM到N，使MN=DM， 连CN、BN、BD，延长AD交CB于点I，CN于H， ∵EM=MC，∠EMD=∠CMN，DM=NM， ∴△EMD≌△CMN， ∴ED=CN，∠MED=∠MCN，∴ED∥CN ∵在正方形ADEG中，AD=ED，AD⊥DE ∴AD=CN，AH⊥CN即∠CHI=90°， 又∵在正方形ABCF中，AB=CB，∠ABC=90°，∵∠BIA=∠HIC， ∴∠BAD=∠BCN，∴△BAD≌△BCN，∴BD=BN，∠ABD=∠CBN， ∴∠NBD=∠CBN+∠DBC=∠ABD+∠DBC=∠ABC=90°， ∴BM=DM，BM⊥DM。 此题的解决就是试题（2）小题的解决，只要将例2中正方形ADEG和正方形ABCF分别改成等腰直角三角形ADE和等腰直角三角形ABC即可；并可将条件“△ADE绕点A逆时针转小于45°的角”进一步开放成“△ADE绕点A旋转任意角度”。 三、纵深追击，挖掘起源点 对于例2中的两个正方形中，还可以找到我们比较熟悉的相等且互相垂直的两条线段。 例3、如图4，四边形ACFG、AHJE都是正方形，连CH、GE，求证：CH=GE，CH⊥GE 分析：这题大家都很熟悉，只要证△ACH≌△AGE即可。 证明：∵四边形ACFG、AHJE都是正方形， ∴AG=AC，AE=AH，∠GAC=∠EAH=90°，∴∠GAE=∠CAH， ∴△AGE≌△ACH， ∴GE=CH，∠AGE=∠ACH， 延长GE交AC于点K，交CH的延长线于点I，∵∠AKG=∠IKC， ∴∠GIC=∠GAC=90°即GE⊥CH。 那么，GE、CH这两条线段与试题（2）小题中的BM、DM之间有可关系呢？由图1②分别延长ED、CB到点H、点G，使DH=ED，BG=CB，连HC、HA、GE、GA，如图5，则由例3得：CH=GE，CH⊥GE；因B、M、D分别是CG、CE、HE的中点，根据三角形中位线定理得：DM∥CH且DM=CH，BM∥GE且BM=GE，所以BM=DM，BM⊥DM。同样由于在例3中，正方形AHJE绕点A旋转到任意位置时，CH与GE的关系始终保持不变，故可仍将条件“△ADE绕点A逆时针转小于45°的角”开放成“△ADE绕点A旋转任意角度”。 任何一个数学问题的形成，本身就是一个探究的过程。这就要求我们在平时的学习过程中，对一些基本