9_8极值与最值.pptVIP

第九章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 多元函数的极值及其求法 1. 定义: 如果二元函数 z ? f (x, y) 对于点 (x0, y0) 的 某一领域内的所有点, 总有: f (x, y) f (x0, y0), (x, y) ? (x0, y0) 则称 f (x0, y0) 是函数 f (x, y) 的极大值; 如果总有: f (x, y) f (x0, y0), (x, y) ? (x0, y0) 则称 f (x0, y0) 是函数 f (x, y) 的极小值。 函数的极大值与极小值统称为极值; 使函数取得极值的点称为极值点。 一、多元函数的极值 2. 定理1(必要条件): 设函数 f (x, y) 在点(x0, y0)处有极值, 并且一阶偏导数在该点存在, 则: fx?(x0, y0) ? 0 和 fy?(x0, y0) ? 0。 证: 假定 f (x, y) 在其定义域的内点(x0, y0)处有极大值。 1) x ? x0 是 平面 y ? y0 和曲面 z ? f (x, y) 相交而成的曲线z ? f (x, y0) 的定义域的内点； 2) 函数z ? f (x, y0)在点x0可导； 3) z ? f (x, y0)在点x0有极大值； 4) 故 z ? f (x, y0)在x0的导数为0, 即 fx?(x0, y0) ? 0 。 对函数z ? f (x0, y)的类似推理 可以证明 fy?(x0, y0) ? 0。 x y z (x0, y0 , 0) z ? f (x, y) y0 x0 z ? f (x, y0) z ? f (x0, y) O 3. 使函数的各偏导数同时为零的点, 称为驻点。 注意: 由定理知, 与一元函数类似, 极值点可能在驻点取得, 极值点也可能是使偏导数不存在的点。 但驻点不一定是极值点。 例1: 求函数 f (x, y) ? ? 4x 2 ? y 2 的极值。 解: 由 得驻点(0, 0) 。 因为当 x y ? 0 时，有 f (x, y) ? ? 4x 2 ? y 2 0 ? f (0, 0) ， 所以: (0, 0)为极大点， f (0, 0)为极大值，如图所示。 例2: 求函数 f (x, y) ? y 2 ? x 2 ? 1的极值。 解: 由 得唯一的一个驻点(0, 0) 。 但当 x ? 0，y ? 0 时， f (x, 0) ? ? x 2 ? 1 1 ? f (0, 0) 当 x ? 0，y ? 0 时， f (0, y) ? y 2 ? 1 1 ? f (0, 0) 因此，f (0, 0)不是极值， 此函数无极值。 如图所示。 x y z o 1 4. 定理2(充分条件): 设函数 f (x, y) 在点(x0, y0)的 某一领域内有连续的二阶偏导数, 且(x0, y0)是它的驻点, 记: ① 若P (x0, y0) 0 且 f ?xx (x0, y0)=A 0, 则 f (x0, y0)是极大值; ② 若P (x0, y0) 0 且 f ?xx (x0, y0)=A 0, 则 f (x0, y0)是极小值; ③ 若P (x0, y0) 0, 则 f (x0, y0)不是极值; ④ 若P (x0, y0) ? 0, 则 f (x0, y0)是否是极值需另法判别。 证：略。 其中 P (x, y) 称为 f (x, y)的判别式。定理说明 若判别式在点 (x0, y0) 为负, 则曲面在该点的任何方向以同样方式弯曲; 若 f ?xx 0 则朝下; 若 f ?xx 0 则朝上。 如果判别式为正, 则曲面在该点的一些方向向上弯曲, 一些方向向下弯曲。 例3: 求 f (x, y) ? y 3 ? x 2 ? 6x ? 12y ? 5 的极值。 解: 由 fx? ? ? 2x ? 6 ? 0, fy? ? 3 y 2 ? 12