2016考研数学二历年真题(2003年—2016年)_图文文库.doc

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析 一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(D) 【解析】，则. (2) 函数 在内( ) (A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B) 【解析】，，故有可去间断点. (3) 设函数,若在处连续则:( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(A) 【解析】时， 时， 在处连续则：得 得：，答案选择A (4)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(C) 【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个. (5) 设函数满足 ，则与 依次是 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(D) 【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令，则，从而变为 .故， 因而.故选（D）. (6)设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，则 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(B) 【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为 所以 故选B. (7) 设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(D) 【解析】， 由，故或，同时或.故选（D） (8) 设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若则在正交变换下的标准形为( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(A) 【解析】由，故. 且. 由已知可得 故 所以.选（A） 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 则 【答案】48 【解析】 . (10)函数在处的阶导数_________ 【答案】 【解析】根据莱布尼茨公式得： (11) 设连续，，若，则 【答案】 【解析】 已知，求导得，故有 则. (12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则= . 【答案】 【解析】由题意知：，，由特征方程：解得 所以微分方程的通解为：代入，解得： 解得： (13)若函数由方程确定，则= . 【答案】 【解析】当时，则对该式两边求偏导可得 .将（0,0,0）点值代入即有 则可得 (14) 若阶矩阵的特征值为，，其中为阶单位阵，则行列式 . 【答案】21 【解析】的所有特征值为的所有特征值为 所以. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分） 设函数，.若与在时是等价无穷小，求的值. 【答案】 【解析】 方法一： 因为，， 那么， ， 可得：，所以，． 方法二： 由题意得 由分母，得分子，求得c； 于是 由分母，得分子 ， 求得； 进一步，b值代入原式 ，求得 (16) (本题满分10分) 设A0，D是由曲线段及直线，所围成的平面区域，，分别表示D绕轴与绕轴旋转成旋转体的体积，若，求A的值. 【答案】 【解析】由旋转体的体积公式，得 由题求得 (17) (本题满分11分) 已知函数满足，，，求 的极值. 【答案】极小值 【解析】两边对y积分，得 ， 故， 求得， 故，两边关于x积分，得 由，求得 所以. 令，求得. 又， ，， 当时，， 为极小值. (18) (本题满分10分) 计算二重积分，其中 【答案】 【解析】 (19)(本题满分 11 分) 已知函数，求零点的个数？ 【答案】个 【解析】 令,得驻点为, 在,单调递减,在,单调递增 故为唯一的极小值,也是最小值. 而 在,,故 从而有 考虑，所以. 所以函数在及上各有一个零点，所以零点个数为2. (20) (本题满分10分) 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物