【微积分（二）】期末复习宝典及补充试题.docVIP

2007－2008微积分（二）期末练习题 一、定积分与应用 。 2． 设求 3． 4． 下列广义积分发散的是_________. 5．计算积分： 6．求由抛物线和所围成的图形的面积。 7．过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形D，求D的面积A. 8．设连续，则 。 9．( f(x)连续 ) 。 11．。 同类题： 求一连续可导函数使其满足下列方程: 另有：求 区别：满足的f(x)的幂级数展开式= 。 答案：，，（后面有解的过程） 12．设在[0，1]上连续且为单调减函数，证明对任意。 13． 二、多元函数微分学 1．若函数在区域D内具有二阶偏导数，则结论正确的是 。 A 必有 ； B ； C ； D （A），（B ），（C ）都不对。 2. 二元函数的极值点与驻点是（ ）关系。 3．函数的全微分是 4．设 确定： ，求 5．已知，求的偏导数 7．设，其中具有连续的二阶偏导，求。 8．某公司为推销自己的商品，采用两种方式做广告，已知销售收入R（万元）与电视广告费x（万元），报纸广告费y（万元）有如下关系： 在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略 如果提供的广告费用为1.5万元，求相应的广告策略。 三、二重积分 1．设。 2．求 3．求重积分，其中 4. 求，其中D是由圆和所围成的 平面区域. 5． 求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 四、无穷级数 0. 部分和数列有界是正项级数收敛的( )。 A． 充分条件 B． 必要条件 C． 充要条件 D． 既非充分又非必要条件 1. 判断敛散性： 、 。 2. 已知级数，，则级数等于 。 3. 已知收敛，收敛，则（ ）。 A．为无穷大 B．收敛 C．发散 D．敛散性不能确定 4. 设级数绝对收敛，则（ ）。 A．发散 B．条件收敛 C．敛散性不能判定 D．绝对收敛 6．若级数在x=-1（条件）收敛，则其在x=2处___ ____. A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 不能确定 7．求幂级数的收敛半径和收敛域。 8．求级数的和函数。 9． 10．设，则 。 11. 12. 求满足的f(x)的幂级数展开式= 13．设 （1）求的值 （2）证明：对任意常数，级数收敛 五、微分方程 1. 已知为的特解，则的一个（以表示）特解为 2．设线性无关的函数都是的解，是任意常数，则该方程的通解是 。 3．已知微分方程有三个解 此方程满足初始条件的特解为 。 4．具有通解为任意常数）的2阶常系数齐次线性微分方程是（ ） 求的通解 6. 求的通解 2007－2008微积分（二）期末练习题答案 一、定积分与应用 1. 答： 2. 解：定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 设则 3. 答： 4. A 5. 解： 而 所以原积分发散。 6. 解：由，求得交点(-1,1),(1,1) 7. 解：设切点的横坐标为则所求切线方程为 由切线过原点知因此 故切线方程为 D 的面积为 8. A 9. 10. 11. 解： = 上式两边关于求导，得 ， 为可分离变量的一阶微分方程求特解 又 同类题： 解：令 则有 一阶线性方程求特解 利用公式可求出。 另有：求 令 ， 一阶微分方程求通解 12. 证：令=，则在[0，1]上连续，且，又。因为单调减函数，故由积分中值定理得：。所以13. 证一: 在单减， 证二:左端 = 右端 二、多元函数微分学 1. D 2. 答：既非充分也非必要 3. 答：. 4. 解： ————————（*） 由两边对x求导得 由两边对x求导得 代入（*）式得 5. 解：等式两边关于求导，得