古塔变形的数学模型_大学生数学建模竞赛c题全国二等奖论文_精品.docVIP

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 古塔变形的数学模型 摘要 古塔被誉为中国古代杰出的高层 图1-1 通过假设得出正多边形的形心就是中心，因此可运用组合图形形心公式计算出古塔各层中心坐标。 问题2-0塔的倾斜、弯曲、扭曲都与塔的中心有关。从数据点上看，四年13组中心点的数据大致分布在空间的一个平面上（1986年图2-0-1，1996年图2-0-2，2009年图2-0-3，2011年图2-0-4），所以用空间直线的最小二乘法来拟合中心线。 图2-0-1 图2-0-2 图2-0-3 图2-0-4 问题2-1塔的倾斜程度用倾斜角W表示，塔身拟合后的中心线与地面的夹角为倾斜角（图2-1-1）。 图2-1-1 问题2-1.1塔自身倾斜情况。观察图2-1-1得到Rt△OPQ，利用三角形正切公式确定自身倾斜角W。1986、1996年题目分别给有4组塔尖坐标，分析数据结合实际生活我们将4组数据求平均值，得到1组数据用于计算塔的倾斜角W。 问题2-1.2年份的相对倾斜角△W可表现塔倾斜幅度。两直线的方向向量的夹角（小于90O）叫做直线的夹角，现古塔的倾斜度一定小于90O，所以各年份中心线夹角可转化为两直线的方向向量的夹角，将每年各层中心和塔尖的数据用空间直线的最小二乘法进行拟合成中心线。用法向量法得到各中心直线的方向向量，利用两向量的夹角的余弦公式确定相对倾斜角。 问题2-2塔的弯曲与空间直角坐标系的z轴有关。以塔第一层楼面的中心为原点建立空间直角坐标系，拟合各年各层中心点竖坐标的直线，多次拟合后发现三次多项式的拟合效果较好（附录图2-2-1，图2-2-2，图2-2-3）， 问题2-3塔的扭曲在空间直角坐标系中的x,y轴有关。扭曲是相邻年份相对的物理量，以每层中心点偏移的平面距离作为扭曲距离，并用层次分析法对各层的扭曲距离赋予权重，得到总扭曲距离来衡量不同年份古塔的扭曲程度 问题3运用层次分析法对古塔的变形程度做综合量化评价，并根据组合权向量对古塔变形趋势做出大致分析。 模型假设 1，参照中国古塔的塔身样式假设塔身水平面是正八角形； 2，假设古塔是均质物体，形心就是中心； 3，以地平面为X轴，建立空间直角坐标系X，Y，Z； 4，假设塔尖面积极小，近视为一个点； 5，假设模型4中古塔所在地不存在地震等这种偶然事件； 6，假设古塔所在的地平面是水平面。 符号说明 Ci--第i个三角形的形心（i=1,2,……6）； Si--第i个三角形的面积（单位：m2)（i=1,2,……6）； Ai--第i个三角形的形心坐标（单位：m） 图5-1-2 每年各层六个三角形的形心： C1(，)、 C2(,)、 C3(,)、 C4(,)、 C5(,)、 C6(,)， 代入测量数据，运行MATLAB软件得出： 1986年各层分面积的心 塔层 坐标(m) A1 A2 A3 A4 A5 A6 1 565.6707，526.9707 564.3160，524.7823 565.1133，523.6693 567.8320，525.6177 570.8977，523.7220 570.3780，520.4057 2 565.7107，526.7563 564.4383，524.6417 565.2177，523.5770 567.8177，525.4710 570.7933，523.6700 570.3203，520.4773 3 565.7503，526.5460 564.5587，524.5040 565.3203，523.4870 567.8037，525.3273 567.6070，524.0603 567.1797，520.9890 4 565.7813，526.3787 564.6540，524.3940 565.4017，523.4147 567.7920，525.2127 570.6087，523.5783 570.2180，520