幂级数求和函数方法概括与总结_精品.docVIP

常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽 1、设是定义在数集上的一个函数列，则称 为定义在上的函数项级数，简记为 。 2、具有下列形式的函数项级数 称为在点处的幂级数。 特别地，在中，令，即上述形式化为 称为在0点的幂级数。 （二）、幂级数的和函数 [2] 若对幂级数中的每一个都有，则称为幂级数的和函数。 幂级数的部分和记为 且部分和有如下性质 二、幂级数求和函数的几种方法 以下所要介绍的几种方法旨在分析不同类型的幂级数该如何进行求和，并且帮助大家掌握解题技巧。 （一）、定义法 [3] 对于幂级数，若前项和函数列有极限，即 存在，则此幂级数收敛，且 。 例1：求幂级数的和函数，其中，。 解：当时 （二）、分项组合法 我们通过观察可以发现有些幂级数具有某些明显的特征，比如可以将已知级数的通项拆项组合，再计算所拆得各项的和函数，从而求得该级数的和函数。 例2：求的和函数。 解:易知该级数的收敛域为 当时， 当时 所以 （三）、逐项求导与逐项积分法 若幂级数的通项系数是自然数或相邻的自然数相乘的形式，可考虑用“先积分，再求导”的做法；若幂级数的通项系数是自然数的倒数或相邻的自然数乘积的倒数，可考虑用“先求导，再积分”的做法。 定理 [4]：设幂级数在内的和函数为，则 在内每一点都是可导的，且有逐项求导公式： 求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径。 在内可以积分，且有逐项积分公式： 其中是内任意一点，积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径。 在函数项级数一致收敛的前提下，对其进行逐项微分或积分。通过逐项求导或逐项积分将给定的幂级数化为已知和函数的级数形式，从而得到新级数的和函数；将得到的和函数做与之前相反的分析运算，便得到所求幂级数的和函数。 例3：求幂级数的和函数。 解：易知该级数的收敛域为，在任意区间上可以逐项积分 令 所以 从而可得所求和函数 例4：求幂级数的和函数。 解：易知收敛区间为 当时， 当时 设 得出 综上所述 （四）、代数方程法 此种方法目的在于建立以所求幂级数的和为变量的代数方程，并解之，从而得到原幂级数的和函数。 例5：设有等差数列 ： 等比数列 ： 则各项为等差数列、等比数列对应项的乘积所构成的级数为 求其和函数,其中为常数。 解：易知此级数的收敛域为 所以 例6：求幂级数 的和函数，其中 为 的 次多项式。 解：记 则 ① 其中 为的次多项式 再使用一次以上的运算方法可得 ② - ② 得 其中 为的次多项式 反复使用以上的方法可以得到 这样就可以求得 。 （五）、微分方程法 在幂级数中，有一类含有阶乘运算的幂级数，这种幂级数的和函数的求法，在现行高等数学教材中涉及的不多，因此成为很多同学学习的一个盲点。此方法将通过实例介绍这类幂级数和函数的求法，把幂级数求和问题划归为求解微分方程的问题，也就是把幂级数的和函数微分后，再与原来幂级数作某种运算，得到一个含有幂级数和函数以及和函数导数的关系式，即微分方程。最后求解此微分方程即得和函数。 例7：求幂级数 在下列情况下的和函数： ，即公差为的等差数列，其中为常数； ，即公比为的等比数列，其中为常数。 解：①易知该级数的收敛域为 则 这是一个满足初始条件的一阶常系数的线性微分方程，解此微分方程得 ② 易知该级数的收敛域为