高等数学II-(微积分-龚德恩-范培华)3.1-导数的概念.pptVIP

一、导数产生的背景 练习 求函数 三、导数的几何意义 内容小结 * 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数) 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton 第三章 导数与微分 3.1 导数的概念 第三章 导数与微分 3.2 求导法则 3.3 基本导数公式与高阶导数 3.4 函数的微分 3.5 导数在经济学中的简单应用 3.1 导数的概念 一、导数产生的背景 二、导数的定义 三、导数的几何意义 五、函数的可导性与连续性的关系 四、单侧导数 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 而在 时刻的瞬时速度为 自由落体运动 物理背景 平面曲线上切线的概念 割线MQ 切线MT 切点 曲线的切线斜率 数学背景 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 切线 MT 的斜率 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 共性？ 二、导数的定义 由定义求导数（三步法） k ? 0为常数. 如果函数 f (x) 在点 x0 处可导, 反之是否成立？ 不成立！ 导数的几何意义 x 轴、或不存在, 反映出点 x0 处的导数值也是三种情况。 y O x x0 y = c f ?(x0) = 0 y O x f ?(x0) = ? x0 O x y x0 y O x x0 f ?(x0)不存在 f ?(x0)不存在 切线平行于x 轴： 切线垂直于x 轴： 无切线： 无切线： 曲线 y = f (x) 在点 x0 处的切线可能平行于x 轴、垂直于 瞬时速度 切线斜率 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 先求导、后代值！ 解: 即 通常说成：常数的导数为零. 的导数. 解: 即 类似可证得 和差化积 等价无穷小 或重要极限 ? ? 等价无穷小代换 解: 例如， ? ? 解: 等价无穷小代换 ? ? 等价无穷小替代 故 解: 曲线 在点 的切线斜率为 解: 即 故点 (3 ,9) 的切线方程为： 即 点 (3 ,9) 的法线方程为： 解: 四、 单侧导数 连续不一定可导！ 判断可导性: 用导数定义！ 解 * *