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第十五章-动静法

1 上式中前两项为静约束力,附加约束力为 解得: 单个物体的动力学问题,用动静法或 动力学普遍方程求解区别不大。但是物体系统的动力学问题,用动静法求解比用动力学普遍方程求解简单得多。 特别注意:在画虚加的惯性力系的主矢和主矩时,必须按照和质心加速度的方向相反以及与角加速度转向相反(考虑负号)的原则画出。在方程中只需按其数值的大小代入,不能再带负号! 1 假设刚体具有质量对称平面,并且平行于该平面作平面运动。此时,刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。 刚体平面运动可分解为 随基点(质点C)的平动: 绕通过质心轴的转动: ? 作用于质心 三、刚体作平面运动 1 对于平面运动刚体:由动静法可列出如下三个方程: 实质上: ——刚体的平面运动微分方程 §4 静平衡与动平衡的概念 A B m m Fg1 Fg1=Fg2 ? 理想状态 Fg2 m m A B Fg1Fg2 FRA FRB Fg2 偏心状态 ? Fg1 由惯性力引起的轴承约束反力FRA、FRB都不等于零,他们称之为附加动反力。 A B m m FRB FRA 偏角状态 Fg1 ? Fg2 A B m m FRA FRB 既偏心又偏角状态 Fg2 ? Fg1 1 静平衡:刚体转轴过质心,则刚体在仅受重力而不受其它主动力时,不论位置如何,总能平衡。 动平衡:转动为中心惯性主轴时,转动时不产生附加动反力。 静平衡与动平衡的概念 动平衡的刚体,一定是静平衡的;反过来,静平衡的刚体,不一定是动平衡的。 例 如图所示,轮盘(连同轴)的质量 转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心C不在转轴上, 偏心距     当轮盘以均转速 转动时。 求:轴承A,B的约束力 解: 1 [例] 质量不计的刚轴以角速度?匀速转动,其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下,哪些是静平衡的?哪些是动平衡的? 静平衡: (b)、 (d) 动平衡: ( a) 1 动平衡的刚体,一定是静平衡的;反过来,静平衡的刚体,不一定是动平衡的。 [例] 两个相同的定滑轮如下图示,开始时都处于静止,问哪个角速度大? (a) 绳子上加力G (b) 绳子上挂一重G的物体 O O 1 根据达朗伯原理,以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法,称为动静法。应用动静法既可求运动,例如加速度、角加速度;也可以求力,并且多用于已知运动,求质点系运动时的动约束反力。 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如,矩心可以任意选取,二矩式,三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时,应用动静法求解它们时就方便得多。 达朗伯原理的应用 1 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。 ③运动分析。主要是刚体质心加速度,刚体角加速 度,标出方向。 应用动静法求动力学问题的步骤及要点: ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶,一定要在正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。 1 ⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑥建立补充方程。运动学补充方程(运动量之间的关系)。 ⑦求解求知量。 [注] 的方向及转向已在受力图中标出,建立方程时,只需按 代入即可。 1 [例1] 质量为m1和m2的两重物,且 m1 m2 ,分别挂在两条绳子上,绳子又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上,已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为I,系统在重力作用下发生运动,求鼓轮的角加速度。 取系统为研究对象 解: 方法1 用达朗伯原理求解 1 虚加惯性力和惯性力偶: 由动静法: 列补充方程: 代入上式 得: 1 方法2 用动量矩定理求解 根据动量矩定理: 取系统为研究对象 1 取系统为研究对象,任一瞬时系统的 两边除以dt,并求导数,得 方法3 用动能定理求解 * * * * * * DAlemberts Principle 1   本章介绍动力学的一个重要原理——达朗伯原理。应用这一原理,就将动力学问题从形式上转化为静力学问题,从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法,因而也称动静法(dynamic-static method)。 §1 惯性力的概念 · 质点的达朗伯原理 §2 质点系的达朗伯原理 §3

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