第三章1-2节导数.pptVIP

二. 导数的定义 ⑴ 表述定义： 函数在点x0取得的增量?y与自变量增量?x之比的极限定义为函数在点x0的导数（变化率） 导数的其它常用记号 [注记]： ① ②当极限 存在时，才称可导，极限值称 为导数； ③当极限 不存在时，称f(x)在x0不可导， 或导数不存在。特别地， 时，有时也称f(x) 在x0的导数为无穷大； ④导数的一个等价形式： 左导数和右导数定义 左导数： (当极限存在） 右导数： （当极限存在） y=f(x)在x0可导的充要条件 y=f(x)在x0可导 ① f(x)的导函数f?(x)[x∈(a，b)]， 简称导数f?(x)[x∈(a，b)] ② f(x)在x0的导数等于导函数f?(x)在x0的函数值， 三、由定义求导数 四、导数的几何意义 例8 设 在x=0处可导， 求a，b 之值 解 ∵可导必连续 , 连续必有 而 ∴ b=1 ∵ 可导 ? 而 六、小结 求导公式 (1)（ C ）′= 0 (2)（x n）′= n x n-1 (3)（a x）′= ax lna (4) (5)（sinx）′= cosx （cosx）′= - sinx 作业 习题三  例6 求分段函数 在点x=0?处的导数。 解 ? 0 解 例7 证明函数 在x=0处连续 但不可导 证 如果函数y=f(x)在开区间(a, b)内可导，且f +?(a)及f-?(b)都存在就说f(x)在闭区间[a,b]上可导。 函数在闭区间可导 切线方程为 法线方程为  解 ∵ y′= 2x ∴ 曲线在（-1，1）处的切线方程为 法线方程为 例 求抛物线 在点(-1，1)处 的切线方程和法线方程 例7 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 切线方程为 法线方程为  可导(f(x)在x0可导) 连续(f(x)在x0连续)) 五、函数可导与连续的关系 证 0 角点的情形不可导 [注记1]： 连续函数不存在导数举例 ★ 0 1 例如, [注记2]： 例如, 0 1 1/π －1/π [注记3]： [注记4]： 1. 导数的实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 6. 判断可导性 不连续,一定不可导. 连续 直接用定义; 看左右导数是否存在且相等. 思考题 思考题解答 §3. 1 导数概念 第三章 函数与微分 引例1．变速直线运动的瞬时速度问题: 设某物体作变速直线运动，从某时刻(不妨设为0） 到时刻t 所通过的路程为s 。显然，路程s是时刻t 的函数。如果已知路程函数为s=s(t),求该物体在时刻t0时的瞬时速度v(t0). 一、问题的提出 引例1分析与求解 从时刻t0到时刻 , 物体 所通过的路程为 称比值 为物体在时间区间 内的平均速度，即 于是，物体在时刻t0的瞬时速度v(t0)就为 引例2 平面曲线在一点处的切线斜率问题： 设平面曲线的方程为y=f(x), 求该曲线在点 处, 的切线斜率, 其中 L M  作割线 的斜率 引例2 分析与求解 L 切线问题 割线的极限位置——切线位置 切线问题 割线的极限位置——切线位置 切线问题