线性代数第4章答案.docVIP

第四章 向量组的线性相关性 4-1 向量组的线性相关性 一.选择题 答案：1. D 2.C 3.D 4.A 二. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关( (1) ((1( 3( 1)T( (2( 1( 0)T( (1( 4( 1)T( 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A( 因为 ( 所以R(A)(2小于向量的个数( 从而所给向量组线性相关( 三. 设b1(a1( b2(a1(a2( ( ( (( br (a1(a2( ( ( ( (ar( 且向量组a1( a2( ( ( ( ( ar线性无关( 证明向量组b1( b2( ( ( ( ( br线性无关( 证明 已知的r个等式可以写成 ( 上式记为B(AK( 因为|K|(1(0( K可逆( 所以R(B)(R(A)(r( 从而向量组b1( b2( ( ( ( ( br线性无关( 4-2 向量组的秩 一.选择题 答案：1.B D 2.D 3.A 二.求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组线性表示. 解 一个最大无关组。且 三. 已知向量，，，．求该向量组的秩；讨论它的线性相关性；求出它的一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组线性表出． 解： 该向量组的秩等于３，它是线性相关的,它的一个最大无关组为.且。 4-3 线性方程组解的结构 一.选择题 A．1 B．2 C．3 D．4 答案：1.C D 2.B 二.填空题 答案：1. 1 2. 其中为任意常数． 3. n – r 三. 解当时有解；进一步化为行最简形为： ，所以通解为，其中为任意常数． 四.解： 通解为，其中为任意常数． 第四章 复习题 一.判断题 答案：1.√ 2. √ 3. × 4. × 5. × 6. √ 7. √ 8. × 9. √ 二 解向量组的秩为3，是一个最大线性无关组，并且 ，． 三．求下列齐次线性方程组的一个基础解系及通解: 1. 解 基础解系为: ， 故原方程组的通解为(其中为任意常数.) 2. 解 基础解系:. 故原方程组的通解为(其中为任意常数.) 四． 解 方程组的通解为: (为任意常数) 第四章 自测题 一、填空题 答案：1． 2． -2 3． 2 4． 相关 5． 6． 7． 1 二、选择题 答案：1． B 2．B 3． D 4．D 5． D 三、 解 当且时，方程组无解 当时，方程组有唯一解 当且时，方程组有无穷多解. 四、 解 ，所以当或时， 线性相关。 当时，为最大线性无关组，且 时，为最大线性无关组，且 五、 ，所以当时线性方程组有解；进一步化为行最简形： 则特解为： 导出组的基础解系为： 所以方程组的通解为： 为任意常数。 六．设b1(a1(a2( b2(a2(a3( b3(a3(a4( b4(a4(a1( 证明向量组b1( b2( b3( b4线性相关( 证明 由已知条件得 a1(b1(a2( a2(b2(a3( a3(b3(a4( a4(b4(a1( 于是 a1 (b1(b2(a3 (b1(b2(b3(a4 (b1(b2(b3(b4(a1( 从而 b1(b2(b3(b4(0( 这说明向量组b1( b2( b3( b4线性相关( 第五章 相似矩阵及二次型 5-1 向量的内积、长度及正交性 1. 试用施密特法把下列向量组正交化( (1) 解 根据施密特正交化方法( ( ( ( 5-2 方阵的特征值与特征向量 答案：1. D. 2. C 3. C 4. 求下列矩阵的特征值和特征向量. 解： 所以：，分别代入其次线性方程组中得到对应的基础解系为： ， 所以对应的特征向量分别为：（） 5. 解： 比较两边得：，所以： 所以： 6.已知3阶矩阵A的特征值为1( 2( (3( 求|A*(3A(2E|( 解 因为|A|(1(2(((3)((6(0( 所以A可逆( 故 A*(|A|A(1((6A(1( A*(3A(2E((6A(1(3A(2E( 令((()((6((1(3(2(2( 则((1)((1( ((2)(5( (((3)((5是((A)的特征值( 故 |A*(3A(2E|(|(6A(1