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复变函数 第二章 我们来计算几个复积分 例： 沿两条路径积分 ①L1 ②L2+L3 解：路径①的参数方程为 L1: Z(t)=1-t+it (0≤t≤1) ∴ 路径②的参数方程为 L2: Z(t)=1-t (0≤t≤1) L3: Z(t)=it (0≤t≤1) 可见沿不同路径积分值并不一样，这说名积分是路径的泛函。 例： 路径①： 积分路径是圆心在a，半径为r的圆，路径的方向为逆时针方向。 路径的参数方程为： ∴ 显然至此结果应分两种情况考虑：n=1和n≠1 n=1情况： n≠1情况： 路径②： 如图，路径为然原点半径为r的圆 路径的参数方程为： 例： 沿两条路径积分 路径①：L1 路径②：L2+L3 解：路径①的参数方程为 L1: Z(t)=1-t+it (0≤t≤1) ∴ 路径②的参数方程为 L2: Z(t)=1-t (0≤t≤1) L3: Z(t)=it (0≤t≤1) 例：积分： 积分路径为不通过原点有1→Z的曲线 向前面一样，这里仍将积分变成参数积分，即认为： 这样积分为： 第一项 ∴ 第二项： 但是多少则取决于积分路径 考虑几种积分路径 这种路径没有绕过原点，所以Z由1出发到终点 但如果我们的路径绕过原点，如图 可以看到每绕原点一周，就增加一个2π，而原则上可以绕原点转任意圈，于是有 例： 解： 在C的内部绕a做一半径为r的圆周线L，由复连通区域的Cauchy定理可知 L是半径为r的圆，这个结果我们已经在前面得到过了(见3-1-2-②） 所以 例： 解：积分路径是半径为2的一个圆 根据Cauchy公式我们有