10.2多元函数的极限.pptVIP

第十章 多元函数的极限与连续性 10.2 多元函数的极限 本讲主要内容 1. 多元函数 2. 多元函数的极限（重极限） 3. 累次极限 1. 多元函数 圆柱体的体积 数字图像 灰度图像 y=I(m,n); 彩色图像 (R,G,B)=I(m,n). 设 D ? ?n, 若 8 x 2 D, 按照某种映射规则 f，?！y2 ? 与之对应, 则称 f 是定义在D上的 n 元实值函数，记作 y = f (x) 或 y = f (x1,x2,?,xn)． 1. 多元函数 定义1（ n 元实值函数 ） 一般地，将二元和二元以上的实值函数统称为多元实值函数． 平面点集D ? ?2 到实数集?的对应关系: 二元函数 z =f (x,y) z o f (x,y) (x,y) o f x y D * 二元函数 一般地，二元函数 z = f (x, y), (x, y) ? D 的图像是空间的一张曲面 ? . z = sin(xy),x,y 2 ?. 二元函数的图像 * n元向量值函数 类似地，可以定义n 元m 维向量值函数（多元函数）： 记作 y = f (x) 或 (y1,y2,?,ym) = f (x1,x2,?,xn)． 多元向量值函数的例子： 质点运动方程 彩色图像 2. 多元函数的极限 定义（重极限） 设 f 是定义在 D ? ?n 上的函数，x0 是 D 的一个聚点，A2 ?m ，则可以定义 或者 例1. 设 证明： 例2. 设 证明： 重极限的性质 性质 1 唯一性 局部有界性 性质 2 Cauchy收敛准则 重极限的性质 性质 3 对于D 中任一以x0为聚点的子集 E，总有 . 推论 1 设E1?D, x0 是E1的聚点，若 不存在， 则 不存在. 重极限的性质 性质 3 对于D 中任一以x0为聚点的子集 E，总有 . 推论 2 设E1 ,E2 ?D, x0 是E1 ,E2的聚点，若 与 存在但不相等， 则 不存在. 重极限的性质 性质 3 对于D 中任一以x0为聚点的子集 E，总有 . 推论 3 对于D 中任一满足 的点列 ，总有 . 在点 (0, 0) 的极限是否存在. 例3. 讨论函数 函数的极限的其他形式 非正常极限： 趋于无穷时的极限： 3. 累次极限 定义10.5 (累次极限) 为方便起见，仅考虑二元实值函数. 设Ex ,Ey ??, x0, y0 分别是Ex ,Ey的聚点，二元函数 f 在 Ex ×Ey上有定义，若 8 y 2 Ey, y ? y0 , 存在极限 且进一步存在极限 则 称 a 为二元函数 f 先对 x 再对 y 的累次极限，记作 或 累次极限与重极限 定理 若重极限和一个累次极限均存在，则极限值必相等。 推论 1 若重极限和两个累次极限都存在，则三个极限值都相等。 推论 2 若两个累次极限都存在但不相等，则重极限不存在。 本讲小结 多元函数的概念 极限的定义 重极限与累次极限 * * * *