2010-2011 第二学期 高等数学 期中考试.docVIP

2010－2011学年第二学期 《高等数学》（理工类）期中试卷 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷 班级： 姓名： 学号：___________ 题 号 一 二 三 四 五 总分 阅卷人 题 分 27 21 18 14 20 100 得 分 考生注意：本试卷共6页，五大题，草稿纸附两张，不得在草稿纸上答题。 一、 填空题（每小题3分，共27分）． 1.二元函数的定义域为 ． 2.设，则 ． 3.函数的驻点是 ． 4.以为通解的微分方程是 ． 5.设二元函数，则 ． 6.曲线在面上的投影曲线方程为 ． 7.平面上的曲线绕轴旋转一周所得曲面方程为 ． 8.曲线，，在点处的法平面方程为 ． 9.极限= ． 二、计算下列偏导数或导数（共21分）． 1、(7分)已知，而，求. 2、(7分)设函数由方程所确定，求，，. 3、(7分)设，具有二阶连续偏导数，求. 三、计算题（共18分）． 1、（8分）求过点且与两平面和平行的直线方程. 2、(10分) 利用拉格朗日乘数法，试在椭球面上，求距离平面的最近点和最近距离、最远点和最远距离. 四、求解微分方程（共14分）． 1、(7分)求微分方程的通解. 2、(7分)解微分方程. 五、综合题（共20分）． 1、(10分)设函数连续，且有，求函数. (10分)讨论函数在点（0，0）处的连续性，可导性和可微性. 答案 一、 填空题（每小题3分，共27分）． 1. 2. 4 3. 4. 5. 6. 7. 8. 或 9. 4 二、计算下列偏导数或导数 1、已知，而，求. 解：= 2、设函数由方程所确定，求，，. 解： 或 设 ， 3、设，具有二阶连续偏导数，求. 解： 三、计算题 1、求过点且与两平面和平行的直线方程. 解：已知两平面的法向量为 则所求直线的方向向量 则所求直线的方程为。 2、(10分) 利用拉格朗日乘数法，试在椭球面上，求距离平面的最近点和最近距离、最远点和最远距离。 解：椭球面上点到平面的距离平方 令 由 得驻点 且 由问题知最大值和最小值必定存在，因此 所求最近点为，最近距离为， 最远点为，最远距离为。 四、求解微分方程（每小题10分，共20分）． 1、求微分方程的通解. 解： 令则代入方程得 即 两边积分 即， 则 即，因此 2、解微分方程. 解：原方程可变为， 则 原方程的通解为 由得 则原方程的特解为 五、综合题 1、设函数连续，且有，求函数. 解：， 即 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，且. 设为 特征方程为 即 则相应的齐次方程通解为， 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解为 则此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 由得 2、讨论函数在点（0，0）处的连续性，可导性和可微性. 解：由于 （当时） 所以 故在（0，0）点连续。 同理 故在（0，0）点偏导数存在。 但是令， 不趋向于0， 故函数在不可微。