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2013考研数学强化4
有了文登·学府，考研就有了高度＆速度！权威卓越品质，学员成绩全国绝对第一！ 第四讲 中值定理及不等式证明 【例 1 】（02,3）设函数f (x ),g (x ) 在[a,b]上连续，且g (x ) 0 .利用闭区间上连续函数性 b b 质，证明存在一点 ，使 f x g x dx f ξ g x dx ξ ∈[a,b] ∫a ( ) ( ) ( )∫a ( ) 【详解】方法1：因为f (x ) 与g (x ) 在[a,b] 上连续，所以存在x1 x2 使得 f (x ) M max f (x ) ， ( ) min ( ) ， 1 f x 2 m f x [ , ] [ , ] x ∈ a b x ∈ a b 满足m ≤ f (x) ≤ M ．又g (x ) 0 ，故根据不等式的性质mg (x) ≤ f (x)g (x) ≤ Mg (x) b b b 根据定积分的不等式性质有m g x dx ≤ f x g x dx ≤ M g x dx ∫a ( ) ∫a ( ) ( ) ∫a ( ) , b ∫a f (x )g (x )dx 所以 m ≤ ≤ M . b ∫a g (x )dx b f x g x dx ∫a ( ) ( ) 由连续函数的介值定理知，存在ξ ∈[a,b] ，使f (ξ ) b g x dx ∫a ( ) b b 即有 ∫a f (x )g (x )dx f (ξ )∫a g (x )dx ．
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